Регуляризованные следы дискретных операторов

• Автор: Подольский, Владимир Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 185 с.

1. Суммирование регуляризованных следов
методом расстановки скобок
1.1. Предварительные сведения
1.2. Операторы с ядерной резольвентой
1.3. Операторы с неядерной резольвентой
1.4. Операторы с регулярным поведением спектра
1.5. Примеры
2. Суммирование регуляризованных следов
методом Абеля
2.1. Асимптотическое поведение дробной производной Вейля следа голоморфной операторной полугруппы
2.2. Суммирование по Абелю следов операторов с известным асимптотическим поведением тэта - функции
2.3. Суммирование по Абелю следов операторов, регуляризованных диагональю возмущения
2.4. Суммирование по Абелю следов операторов, регуляризованных диагональю возмущения: случай резольвенты Гильберта - Шмидта
2.5. Пример: оператор Лапласа на двумерной сфере
с нечетным потенциалом
3. Оператор Лапласа — Бельтрами на компактных
симметрических пространствах ранга 1
3.1. Предварительные сведения
3.2. Суммирование следов по Абелю
3.3. Суммирование следов со скобками
3.4. О точной границе сходимости
4. Некоторые вопросы теории оператора
Штурма - Лиувилля
4.1. Операторы класса
4.2. О приближении первых собственных чисел оператора
класса
4.3. Приближение оператора Штурма-Лиувилля общего положения оператором класса
4.4. Прямые соотношения между спектральной функцией и переходной функцией обратной задачи
4.5. Асимптотика функции Вейля - Титчмарша
Литература

Настоящая работа посвящена исследованиям в теории регуляризован-ных следов дискретных операторов: условиям существования регуляри-зованных следов, их суммируемости различными методами, вычислению явных выражений для регуляризованных сумм собственных чисел через параметры операторов; также некоторым приложениям теории к смежным вопросам спектрального анализа, таким как обратная задача, приближенное вычисление собственных чисел, исследование классических функций, связанных с оператором: спектральной функции, дзета - и тэта - функции, функции Вейля - Титчмарша.
Теория следов линейных операторов берёт своё начало с одного из фундаментальных фактов конечномерной теории: инвариантности матричного следа линейного оператора и совпадении его со спектральным следом:
N N N .
^ ^ (■^■У?П) Рп) — ^ ' (А'Фт'Фп) = ^ ' -^П) (0.0.1)
п=1 п=1 п
здесь {А„} — собственные числа оператора А, а ({(Рп}^=1! {'0п}^=1) ~ два произвольных базиса пространства.
Этот результат был последовательно перенесен на случай бесконечномерных операторов со следом — иначе называемых ядерными, а именно, было доказано (см. [15]), что если оператор А — ядерный, то для любой пары {^пКЙ} ортонормированных базисов верно
+00 +оо
XI (А?п, <Рп) = X (А^п' > (0.0.2)
П=1 П

Доказательство. Мы начнём его со следующей леммы.
Лемма 1.2.2. Существует бесконечно большая последовательность положительных чисел ат такая, что
при т -* оо.
Доказательство. Для оценки ЦЛДоС^т)!!! воспользуемся неравенством (1.1.4) при р — 1:

1И1,
3=О
где — произвольный ортонормированный базис пространства.
||ВЛо(А)||х < Х(ВЛо(А)^,ВЛо(А)^)* = Х^ГТГ1 = к=0 к=0 ' к '
_ ^ {ВА05(рк,ВА0 V*)2 А£ || г,, а£
- 5 < ||вл° 11 £ р^щ- (1-2'3)
Применяя (1.1.14) к неравенству (1.2.3), имеем
00 6 ЦвДоО)!,, < |в^-«11Еа,|ЛГ|Л1-,-; _|л|1.,_ц|-
= у' I (1 2 4)
Сходимость ряда здесь обеспечена ядерностью оператора А$'
Воспользуемся далее результатом леммы 1.1.4 и выберем последовательность {от}“=1 так, что бы 00
Егп гг—г 0 при т —у оо,
1-д-ш _ г ’
*=0 I к т I
и тогда из (1.2.4) следует
115^(01^ = 0(0. (1-2-5)