Некоторые экстремальные задачи в классах однолистных функций без общих значений

• Автор: Гаврилюк, Михаил Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Краснодар
• Количество страниц: 117 c. : ил

С ОДЕРЖАНИЕ

§0. Определения и предварительные результаты

Глава I. Проблемы модуля для двух семейств кривых, заданных в круге.

§1. Экстремальные задачи »/=1>2

§2. Экстремальные задачи (*».<*»,К, <‘*0 , у'»-£.2.

§3. Экстремальные задачи (<**.,ч, %) , = ,

§4. Некоторые свойства экстремальных конфигураций задач

Р} и В
Глава II. Теоремы покрытия и искажения для некоторых классов функций, заданных в круге и кольце.

§1. Теорема покрытия в классе У<4?)

§2. Оценки модуля функции класса 8Ы,%)

§3. Оценки модуля производной в классе Р(<А)
Глава III. Теоремы покрытия для функций Бибербаха-Эйлен-берга, заданных в кольце.
§1. Оценки модуля функции класса £(?,М
§2. 0 покрытии бтрезков в классе £( §3. Оценки коэффициентов почти ограниченных функций
ЛИТЕРАТУРА

Геометрическая теория функций получила интенсивное развитие во многом благодаря различным по своей природе методам исследования. Таким как метод площадей, параметрический, вариационный, экстремальных метрик, симметризации и некоторым другим. Решение многих трудных экстремальных задач геометрической теории функций стало возможным в результате сочетания наиболее общих и развитых методов.
В настоящей работе методика исследования базируется на применении метода экстремальных метрик в форме общей проблемы модуля для нескольких семейств кривых на плоскости. При решении основных задач метод экстремальных метрик применяется в сочетании с методом симметризации.
Начало развитию метода экстремальных метрик положили исследования Гретша. Основываясь на результатах Гретша, Тейхмюллер установил тесную связь метода экстремальных метрик с дифференциальной геометрией и впервые указал на ту важную роль, которую играют квадратичные дифференциалы. Так в ряде работ Тейхмюллер высказал принцип, состоящий в утверждении, что решение каждой экстремальной задачи связано с некоторым квадратичным дифференциалом. Именно, если в такой задаче предполагается, что фиксированна некоторая точка и нет других ограничений, то этот дифференциал будет иметь в этой точке простой полюс. Если дополнительно требуется, чтобы функция, рассматриваемая в задаче, имела в этой точке фиксированные значения /г первых производных, то в этой точке квадратичный дифференциал будет иметь полюс порядка пі I . Однако Тейхмюллер не доказал • никакого общего результата, реализующего этот принцип. Конкретное выражение принципа Теихмюллера для широкого круга экстремальных задач представляет собой "общая теорема о коэффициентах", полученная Дженкинсом [12] . Это один из самых существенных результатов метода экстремальных метрик. Как следствие из "общей теоремы о коэффициентах" Дженкинс и многие другие авторы получили

большое количество новых результатов и усилили известные ранее. Однако, имеется широкий круг задач, для которых либо "общая теорема о коэффициентах" неприменима,, либо ее утверждение малосодержательно. Так рассматриваются экстремальные задачи, для которых ассоциированный квадратичный дифференциал не имеет, как это требуется в формулировке "общей теоремы о коэффициентах", ни одного полюса порядка выше первого. В этом случае добавления к "общей теореме о коэффициентах", а также теорема единственности, получены П.М.Тамразовым [30] , Г31] . Используя эти результаты, а также теорию квадратичных дифференциалов и "общую теорему о коэффициентах", П.М.Тамразовым [30] , Гзт] , [32] получено решение некоторых экстремальных задач теории конформного отображения с полным анализом множества всех экстремальных отображений.
Большое число экстремальных задач сводится к решению проблемы модуля для семейств кривых. В работах Альфорса и Апьфорса и Бейр-линга был введен конформный инвариант, названный экстремальной длиной семейства кривых. Дженкинс [48] впервые доказал существование решения общей проблемы модуля для нескольких семейств кривых на плоскости, а затем и на римановой поверхности [50] . Г.В.Кузьминой [18] получено решение экстремально-метрической проблемы для нескольких семейств кривых на ПЛОСКОСТИ ЕЛИ в односвязной области, дополняющее соответствующий результат Дженкинса [48] . Г.В.Кузьминой [18] доказано, что общая проблема модуля для нескольких семейств кривых эквивалентна экстремальной задаче о разбиении плос-

Через (к, и) обозначим критическую траекторию квадратичного дифференциала, ассоциированного с задачей В2С<*>Ы'>К> <■*) , соединяющую точки -К и К . Пусть еа)<Х,и) и еаЬ<>ь)- аналитические дуги, соединяющие точки -к , с р(0) и к , С рга) , где Ср'0)(^) -простой нуль в круге Ы квадратичного дифференциала, ассоциированного с задачей 1, О, К> С и) , предполагаем здесь, что -1^ .
Указанные дути являются критическими траекториями этого дифференциала.
Следствие 1.2. Пусть -1 иг<г1, тогда справедливы следующие неравенства
> с«? 5 (1.27)
^/е П)(К>чО ие^СК, ь,)] > Сер ^3)и^г)(К, Иг )] .
(1.28)