Применение методов теории банаховых алгебр к исследованию операторных пучков

• Автор: Курбатова, Ирина Витальевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 133 с.

Оглавление
Введение
1 Линейные пучки
1.1 Норма на X, порожденная линейным пучком
1.2 ©-умножение
1.3 Функциональное исчисление для линейного пучка
1.4 Экспоненциальные функции линейного пучка
1.5 Представление решения уравнения 1-го порядка
2 Квадратичные пучки
2.1 И-умножение
2.2 Функциональное исчисление для квадратичного пучка
2.3 Экспоненциальные функции квадратичного пучка
2.4 Представление решения уравнения 2-го порядка
2.5 Квадратичный пучок с Г =
А Приложение: Классическая спектральная теория
А.1 Банаховы алгебры
А.2 Псевдорезольвенты
А.З Функциональное исчисление для псевдорезольвенты
Литература

Введение
Поиск экспоненциальных решений (т. е. решений вида 11-> eXt) линейных дифференциальных уравнений первого
Fx{t) - Gx(t) = f(t) (1)
и второго порядка
Ex{t) + Fx(t) + Hx{t) = fit) (2)
с постоянными операторными коэффициентами, а также (что в значительной мере представляет собой равносильный подход) попытка их решения с помощью преобразования Лапласа приводят к появлению операторных пучков [14, 16, 15, 26, 28, 36, 46, 51, 86, 87], соответственно, линейных
АщА F-G, ЛеС,
и квадратичных
Л н* Х2Е + XF + Н, ЛеС.
В терминах поведения пучков в окрестностях особых точек, называемых точками спектра, удается в значительной мере описать решения рассматриваемых дифференциальных уравнений. Такой подход называют спектральной теорией. Некоторым задачам спектральной теории посвящена настоящая диссертация.
Рассматриваемые дифференциальные уравнения (1) и (2) являются не разрешенными относительно старшей производной. Такие дифференциальные уравнения возникают в механике [30, 75, 77, 90] и в теории линейных электрических цепей [5, 17, 18, 47, 53, 55, 61]. Формально не разрешенным относительно производной является также каноническое уравнение [50, 78] Jii = Ни, где J — блочная матрица (J ф1) • Дифференциальным уравнениям, не разрешенными относительно старшей производной, посвящена обширная литература, см., например, [3, 4, 19, 23, 24, 56, 59, 80, 82, 84, 89].
Предполагается, что в уравнениях (1) и (2) Е, F, G и Н — линейные ограниченные операторы, действующие из банахова пространства X в банахово пространство Y. Отметим, что случай неограниченных коэффициентов обычно удается свести в случаю ограниченных, см. по этому поводу § 1.1. Отметим также, что нетривиальным является не только случай бесконечномерных пространств X н У, но и пространств X и Y большой размерности [26, 27, 81, 92].

Если старшие коэффициенты Ей Е являются обратимыми операторами, уравнения можно умножить на обратные к ним и тем самым привести к нормальному виду. Мы сознательно не обсуждаем этот подход (приводящий к хорошо разработанной теории) по следующим двум причинам. Во-первых, это не всегда удобно, поскольку операторы Р и Е могут иметь особый физический смысл (например, в теории линейных электрических цепей [5, 17, 18, 47, 61] они могут описывать соответственно сопротивления, емкости конденсаторов или индуктивности катушек, входящих в цепь) и иметь особую структуру (например, быть самосопряженными [15, 33, 46] или задаваться разреженными матрицами [25, 26, 92]). Во-вторых, мы хотим охватить случай, когда операторы Р и Е не являются обратимыми.
В случае обратимого оператора Е решение уравнения (1) можно (теорема 1.4.4) представить в виде
х(*) = [ 7>(ех?*_*)/(*) йв,

¥>(®Ф*) = ~ ! еА,;(ЛА - С)~г <*А.
Уже этот простой пример показывает, что разумно рассмотреть более общую конструкцию
М = ^1гКтР-сг1ах)
где / — произвольная аналитическая функция, являющуюся аналогом классической функции от оператора, подробнее см. § А.З. К сожалению, отображение (р не обладает свойством ср(/д) = <р{/)<р(д) сохранения операции умножения. Основной идеей диссертации является рассмотрение вместо обычного умножения операторов так называемого ^-умножения
АО В = АРВ.
Для А-умножения равенство <р(/д) = Результаты, связанные с линейным пучком, в значительно мере переносятся на квадратичные пучки. Аккуратное выписывание возникающих на этом пути формул (глава 2) может оказаться полезным для дальнейших приложений (например, для численных методов).

модифицированное семейство экспоненциальных функций
Ехр«(А) = |ЄХрЛІ’ есл"ЛєС/°' ІЄК,
U ' [О, если Л Є Ui,
где Щ — некоторая ограниченная окрестность (обычного) спектра пучка, a U — не пересекающаяся с ней окрестность бесконечности. Очевидно,
<^(Expj) = 7^4 freXtR^ dX>
где Г — контур, окружающий (обычный) спектр пучка.
Важную роль в последующем изложении будут играть (см. теоремы 1.4.4, 1.5.3 и 1.5.11) операторы <р(ехрг) и Заметим, что если F обратим (и тем самым бесконечность не принадлежит расширенному спектру), то <д(ехр{) = cp(Expt). Если же бесконечность является изолированной точкой в расширенном спектре пучка, то у>(ехрг) не определено, но c/?(Expt) определено. Таким образом, <£>(Expt) можно считать расширением определения Пусть бесконечность является изолированной точкой расширенного спектра пучка. В этом случае функцию
U(t) = зависящую от параметра t, будем называть оператором сдвига (вдоль траекторий соответствующего однородного уравнения).
Предложение 1.4.1. Пусть бесконечность является изолированной точкой расширенного спектра пучка. Тогда оператор U(t) = FU(t) - GU{t) = О, U{t)F - U(t)G = 0.
Доказательство. Заметим, что функция t Ехрг дифференцируема3) в алгебре 0(o(F, G)), поскольку множество a(F,G) компактно.
3>В этом месте используется топология в алгебре 0(ct(F,G)), см. § А.З. Напомним, что для сходимости в О (a(F,G)) достаточно равномерной сходимости в некоторой окрестности множества S{F,G).