Спектр резонансов одномерного оператора Шредингера

• Автор: Тарасов, Алексей Геннадьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 102 с. : ил.

Содержание
Введение

Обзор исследований, связанных с диссертационной темой

Описание результатов диссертации

1 Оператор Шредингера с финитным потенциалом

1.1 Фундаментальная система решений уравнения Шредингера

1.2 Характеристический определитель

1.3 Асимптотика интегралов типа Лапласа

1.4 Асимптотика решения

одного интегрального уравнения

1.5 Локализация спектра задачи

2 Оператор Шредингера с супер-экспоненциально убывающим потенциалом
2.1 Матрица рассеяния и ее борновское приближение
2.2 Зоны свободные от резонансов
2.3 Случай гауссовского потенциала У(х) = е~х /
2.4 Общая схема
2.5 Случай У{х) = е-х2т12тп, т>2
2.6 Класс многочленов £
2.7 Точки перевала фазовой функции
2.8 Перевальный контур для фазовой функции
2.9 Асимптотика преобразования Фурье быстро убывающих функций
2.10 Распределение резонансов в борновском приближении
Литература
Список работ автора по теме диссертации

Введение
Метод перевала является эффективным средством исследования асимптотического поведения при А —> оо интегралов вида
где 7 —- контур в комплексной плоскости Такие интегралы возникают в различных областях математики и ее приложениях. Предметом настоящей диссертации является развитие метода перевала и его применение в задаче о локализации и асимптотическом распределении резонансов одномерного оператора Шредингера
Способы получения асимптотических оценок интегралов вида (*) восходят к Эйлеру и Лапласу, заложившим основы подхода, впоследствии названного методом перевала Дальнейшее развитие он получил в работах Стокса, Кельвина, Дебая и многих других авторов. Данный метод состоит из двух этапов: выбора подходящего пути интегрирования (перевального контура) и вычисления асимптотики интеграла по этому пути. Перевальный контур строится таким образом, чтобы он проходил через критические точки (точки перевала) фазовой функции 5(г), дающие основной вклад в асимптотику интеграла. Этот этап на практике представляет собой трудную задачу, поскольку неизвестен общий простой алгоритм построения такого контура.
Развитию и применению указанных идей посвящено большое количество работ (см. [1]-[5] и цитируемую там литературу). Особый интерес, как в теоретическом, так и в прикладном отношении, представляет случай зависимости подынтегральной функции f(z) от комплексного параметра А, когда изучение вопроса об асимптотическом поведении интегралов типа (*) является сложной проблемой. Именно к такой постановке сводится задача исследования спектра резонансов одномерного оператора Шредингера с быстроубывающим потенциалом V.
Под резонансами оператора Шредингера, согласно принятому определению, подразумеваются полюса аналитического продолжение в С_ его матрицы рассеяния (МР). Наряду с волновыми операторами МР является одним из центральных объектов математической теории рассеяния. Она связывает

поведение решения эволюционного уравнения при £ —* —оо и при £ —> +оо. Изучению различных свойств МР посвящено огромное количество литературы (см., например, [6] - [13]). Структура распределения ее полюсов содержит в себе информацию о рассеивателе - потенциале оператора Шредингера, а также о поведении решения эволюционного уравнения при больших временах. В этой связи важным направлением математической теории рассеяния является изучение распределения и локализации полюсов МР.
Наибольшее число результатов в данной области касается верхних и нижних оценок числа резонансов в шаре произвольного радиуса. Обширную библиографию по вопросу можно найти в [15, 16]. С другой стороны на сегодняшний день имеется не так много работ, раскрывающих структуру распределения резонансов.
В случае вещественного потенциала полюса МР являются нулями ее определителя, который при условии достаточного быстрого убывания потенциала на бесконечности является целой функцией. Данное обстоятельство позволяет использовать результаты комплексного анализа для исследования резонансов соответствующего оператора Шредингера, если для него удается выписать определитель МР.
Для многомерного оператора Шредингера МР матрицей не является, а1 представляет из себя оператор умножения на оператор-значную функцию. Явное ее описание довольно сложно, что делает затруднительным исследование ее полюсов. Одним из выходов в этой ситуации является подход основанный на связи (впервые установленной Бирманом и Крейном в [17]) детерминанта МР и так называемого определителя возмущения, который выражается через свободную резольвенту и потенциал оператора Шредингера. Данный определитель при условии достаточного быстрого убывания потенциала является целой функцией. Его нули совпадают с нулями детерминанта МР соответствующего оператора, что позволяет исследовать распределение резонансов не вычисляя матрицу рассеяния, а анализируя поведение в комплексной плоскости определителя возмущения.
Для одномерного ОШ матрица рассеяния выписывается явно. Ее элементы — так называемые коэффициенты отражения и прохождения — представляют собой интегралы вида (*). Разработанная в диссертации техника оценок таких интегралов позволяет установить, что распределение полюсов матрицы рассеяния определяется ее борцовским приближением, получающимся линеаризацией относительно потенциала V. Применительно к рассматриваемому классу потенциалов, включающего гауссовский, обоснование данного факта сводится к асимптотической оценке с помощью метода перевала интегралов типа (*) с комплексным параметром Л в показателе экспоненты и подынте-

Стало быть, если z — а + гт является решением уравнения (1.13) и cr > оу := max{4(6—o)||ç||, С2//а), то
е~а (à-а)
u[(b, z) u'2(b, z)
^ M2 z-2a~2 < z~a
и, таким образом, множество { а ^ оу, |г:|“+2 5= еа^ь~а^ } не содержит корней уравнения (1.13).
Далее, ввиду условия N ^ тах{(а), (/?)} + 2, к «'(6, г) применимо утверждение 1.2, согласно которому, при а —*• оо справедливы асимптотические представления
«1(6, 2) = С!*"*-1 + ФДг) + ФДг), С = ®(Ь)(Ь - а)“Г(/3 + 1),
«2(6, г) = С2-г-“''1 + Ф2(г) + Ф2(.г), С2 = д0(а)(Ь - а)^Г(а + 1).
где ФДг) = 0(г~Р~2), Ф2(,г) = 0(г~а~2), Фр2(^) = 0(е_<г(ь^). Отсюда
следует, что функция

ip(z) := ((Д + г0+1Ф(г)^
C2 + 2“+1 (Ф2(*) + Ф2(г))
равномерно ограничена в области {|Д“+2 < еа(-ь~а^}, если <т достаточно велико. Выберем од ^ так, чтобы при условиях га+2 < еа(ь~а^ и а > од выполнялось неравенство ф{г) < га+2.
Пусть г = а + ът - решение уравнения (1.13) и <т > сг0, тогда, согласно доказанному, |г|“+2 < еа^ь~а При этом соотношение (1.13) преобразуется к виду
е-г(Ь-а) = г-а-Р-4^г^
откуда, в силу выбора сто, получаем неравенство
е-а(Ь-а) = |г|-в_/?_4|^^| < |г|-/?-2_
Тем самым установлено, что множество {ст > сг0, г@+2 ^ не содер-
жит корней уравнения (1.13).
Заметим наконец, что левая часть (1.13) в силу оценки (1.14) ограничена на множестве { 0 ^ <т ^ ег0, г ^ 4(6—а)||д|| }, в то время как, правая часть там неограниченно возрастает с увеличением г. Следовательно, в полосе {О ^ а ^ <то} находится лишь конечное число решений уравнения (1.13) и, предложение полностью доказано.
Изучим теперь расположение корней уравнения (1.13) в области
П := {г = а + гт | а > <х0, гк < еа(-ь~а'1}.