Спектр компактных операторов взвешенной композиции в некоторых пространствах аналитических функций

• Автор: Шахбазов, Айдын Исрафил оглы
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 105 c. : ил

ГЛАВА I. О НЕКОТОРЫХ КОМПАКТНЫХ ОПЕРАТОРАХ В РАВНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ

§ I Компактные операторы взвешенной подстановки в равномерных пространствах

§ 2 Компактные комбинации.операторов.взвешенной подстановки

§ 3 Приложения к диск-алгебре

Глава II. СПЕКТРЫ КОМПАКТНЫХ ОПЕРАТОРОВ, ИНДУЦИРОВАННЫХ СЖИМАКЗЦИМИ ГОЛОМОРФНЫМИ ОТОБРАЖЕНИЯМИ ИЛИ ВЕКТОРНЫМИ ПОЛЯМИ

§ I Некоторые вспомогательные результаты

§ 2 Спектры компактных операторов индуцированных сжимающими голоморфными отображениями (операторы первого типа)
§ 3 Спектры компактных операторов индуцированных сжимающими голоморфными векторными полями (операторы второго типа)
ЛИТЕРАТУРА

I. Непустота и компактность - единственные свойства подмножества комплексной плоскости (Г , наличие которых эквивалентно существованию ограниченного оператора банахова пространства с данным спектром. Дополнительными свойствами обладают спектры операторов, более тесно связанных с дополнительными структурами пространства. Классический пример - вещественность спектра эрмитова оператора гильбертова пространства, совпадение нормы и спектрального радиуса в этом случае. Сравнительно новый пример дает теорема Камовица и Шейнберга [371 , согласно которой спектр непериодического автоморфизма Т• А—А полу-простой коммутативной банаховой алгебры А содержит единичную окружность (по поводу разнообразных доказательств и обобщений этой теоремы см., в частности, статью Е.А.Горина [8] ). Кроме того, спектр Т в этом случае - связное подмножество плоскости (Г
Если реализовать полупростую коммутативную банахову алгебру А в виде алгебры непрерывных функций на компакте 0. ее максимальных идеалов, то каждому эндоморфизму (в частности, каждому автоморфизму) Т• А—> А будет отвечать такое непрерывное отображение (гомеоморфизм) (|): (}—> , что
(ТрС£)=.^(<^л:)) Для всех ^еА и хе(5 , т.е. Т реализуется в виде оператора подстановки (композиции). Этим объясняется тот факт, что теорема Камовица и Шейнберга стимулировала изучение спектральных свойств операторов подстановки и более общих операторов вида ^ I—> , действующих в
функциональных алгебрах и подпространствах Е с: С((?) . Конеч-

но, специальные высказывания о спектре оператора подстановки возможны лишь при наличии дополнительной информации (о динамике подстановки, пространстве Е , структуре ф ), поскольку в таком виде, даже в предположении замкнутости Е в С(0.) > реализуется, как это вытекает из теоремы о слабой компактности шара сопряженного пространства, каждый оператор банахова пространства с нормой не больше I.
В работах Леви [19] , [20) и Джонсона [31] среди прочего были найдены простые доказательства теоремы Камовица и Шейнберга.
Кроме того, вскоре выяснилось (см. [42] , [7] ), что спектр автоморфизма полупростой коммутативной банаховой алгебры, вообще говоря, не обладает специальной симметрией. Следующий пример, который мы кратко опишем, принадлежит Е.А.Горину. Пусть К -такой компакт в (Г , который содержится в кольце -Д«121* Ч
и содержит кольцо . Предположим дополнительно,
что ык плотно в К • Рассмотрим пространство А=А(ЮС
с. С (К) функций из С (К) » аналитических на }п£ К
носительно поточечных линейных операций и $и.р - нормы А образует банахово пространство. Очевидно, что спектр оператора ^сг)>—>• 2.^а) в А совпадает с К • Вместе с тем, относительно умножения
^*Я1г)=^г
пространство А образует, как можно показать, полупростую коммутативную банахову алгебру (без единицы), пространство максимальных идеалов которой "совладает" с группой Ж целых чисел (гельфандовское представление сопоставляет Д последова-

Разумеется, отсюда следует, что если : А^—> € - голоморфное отображение, удовлетворяющее условиям (7), то для него выполняется неравенство (8); это утверждение мы будем тоже называть леммой Шварца.
Для любого у-є и любого у1 > 0 обозначим через полидиск е : Іг-ігісу1]
Пусть К <= (ЕЛ - компакт, II - содержащее его ограниченное открытое множество, и пусть
2р = с/ъ^ { V-Zl : 2/е К ; ге Эи )
Положим — и Д^(У) ; тогда К(^) - компакт, причем
I/ и 11У-2-*у для всех 1¥<= К(|0 и £ & д 11 .
1.1. ЮЖ. Для любой функции £ е ИоЕШ) и любых 2г, 2 е К выполняется неравенство
!/(»■) -/>«)! « I у- • (9)
То же неравенство справедливо для любого голоморфного отображе-ния £ = : V —^ (С'ь , если под ц|||
понимать величину <>
||| II — || £ II . (Ю)
му'Хоо 4 К(г),°°
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. При V е К , 2 & V положим ^(г) =. ^?(гг) - .
Функция голоморфна (по г ) в [7 (и потому в Л (V)),,