Приближение нелинейных функционалов на пространствах с мерами

• Автор: Липчюс, Андрей Адмонтасович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 56 с.

Содержание
Введение

ГЛАВА 1. Независимые отображения

1.1. Обозначения и терминология

1.2. Теорема Оттавиани и ее усиление

ГЛАВА 2. О равенстве в задачах Монжа и Канторовича

2.1. Задача Монжа-Канторовича

2.2. Предварительные сведения

2.3. Совпадение инфимума Монжа и минимума Канторовича

ГЛАВА 3. Приближение функционалов типа энтропии

3.1. Случай общих пространств с мерой

3.2. Случай метрических пространств
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Тематика работы находится на стыке теории меры, функционального анализа и теории вероятностей и затрагивает три направления, в которых возникают задачи, связанные с приближением функционалов на пространствах с мерами. Первое направление относится к классической задаче Монжа-Канторовича о перемещении масс (называемой также транспортной задачей). Эта задача была поставлена Монжем еще в 1781 году, но значительно развитие эта тематика получила только после работ JI.B. Канторовича в 40-х годах прошлого столетия (см.1,2,3). Канторович предложил новый подход к задаче Монжа, поставив более широкую задачу, тесно связанную с первоначальной. К ней оказались применимы идеи разработанной Канторовичем теории линейного программирования. Связь задач Монжа и Канторовича выражена, в частности, тем фактом, что минимум функционала в задаче Канторовича совпадает с инфимумом функционала в задаче Монжа. В последние два десятилетия в этом направлении появились новые плодотворные идеи, в том числе в.работах М. Талаграна4, Я. Бренье5, Р. Маккэна6. Эти исследования положили начало обширной математической теории, имеющей яркие приложения в теории вероятности, функциональном анализе, дифференциальных уравнениях, физике, метеорологии. Систематическое изложение этой теории можно найти в книгах7,8'9. В диссертации
Monge G. Mémoire sur la Théorie des Déblais et des Remblais. Hist. Acad. Sci. Paris, 1781.
Канторович Л.В. О перемещении масс. ДАН СССР. 1942. Т. 37, N 7-8. С. 227-229.
Канторович Л.В. О задаче Монжа. Успехи матем. наук. 1948. Т. 3. С. 225-226.
Halagrand М. Transportation cost for Gaussian and other product measures. Geom. Funct. Anal. 1996. V. 6. P. 587-600.
Brenier Y. Polar factorization and monotone rearrangement of vector valued functions. Comm. Pure Appl. Math. 1991. V. 44. P. 375-417.
Gangbo W. McCann R. J. The geometry of optimal transportation. Acta Math. 1996. V
161.
Rachev S.T., Ruschendorf L. Mass transportation problems. V. 1,2 Springer, New York, 1998.
8Villani C. Topics in optimal transportation. Amer. Math. Soc., Rhode Island, 2003.
Villani C. Optimal transport, old and new. Springer, New York, 2008.

установлено совпадение инфимума Монжа и минимума Канторовича в случае вполне регулярных топологических пространств с метризуемыми компактами и непрерывной неотрицательной функции стоимости. Этот результат обобщает теорему итальянского математика Прателли10, в которой равенство установлено для полных сепарабельных метрических пространств.
Второе из указанных трех направлений связано с приближением нелинейных интегральных функционалов. Такие проблемы возникают во многих приложениях (см.11,12,13). В частности, в работах14,15 при помощи таких приближений определяется функционал, называемый грубой энтропией, который является измененным вариантом энтропии Гиббса. Грубая энтропия задается как энтропия условного математического ожидания функции при условии конечного разбиения. С помощью грубой энтропии можно попытаться решить некоторые теоретические проблемы, связанные с энтропией Гиббса. Например, во многих конкретных динамических системах имеется рост грубой энтропии с течением времени, причем характер роста определяется динамическими свойствами системы. При этом важным оказывается вопрос сходимости грубой энтропии при измельчении разбиения. Грубая энтропия не всегда приближает энтропию Гиббса. Для сходимости необходимы дополнительные условия на исходное пространство с мерой. Естественно возникает вопрос о приближении указанным способом функционалов более общего вида.
Pratelli A. On the equality between Monges’s infimum and Kantorovich’s minimum in optimal mass transportation. Annales Inst. H. Рощсагё (В). 2006. V. 43, N 1. P. 1-13.
Козлов В.В. Ансамбли Гиббса и неравновесная статистическая механика. НИЦ „Регулярная и хаотическая динамика”, Институт компьютерных исследований, Москва - Ижевск, 2008.
Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Б.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. Наука, М., 1966.
Левин В.Л. Выпуклый анализ в пространствах измеримых функций и его применение в математике и экономике. Наука, М., 1985.
Козлов В.В., Трсщев Д.В. Тонкая и грубая энтропия в задачах статистической механики. Теорет. матем. физ. 2007. Т. 151, N 1. С. 120—137.
TVeschev D., Piftankin G. Gibbs entropy and dynamics. Chaos (Amer. Inst, of Physics). 2008. V. 18, N 2. P. 1-11.

7-меру. Действительно,
7{Хі х У№(і)) = 7(ХгхУщ) > Итзир7п(Х/ х Ук{1))
71—>00
- Нтзир7п(Х/ х У) =/л(Х1) = р(Хт) = 7(Х/ х У) >

> 7(Х/ х Уы/)).
Положим 5 = Пд. 5*,. Тогда 5 является борелевским множеством в X х У и 7(5) = 1. Для всякого элемента х Є X множество
{у: (ж, у) Є 5} = Уф(х))
содержит не более одной точки. Множество (X X У) П 5 - борелевское. Его проекция П на X является суслинским множеством, причем
П)=7рП)хУ) = 0,
так как 7(5) = 1. Для всякого х Є П существует единственный элемент у Є У с (ж, у) Є 5, т.е суслинское множество 5 П (П х У) представляет собой график некоторого отображения Т : П -7 У. Как известно (см., например, лемму 6.7.1 во втором издании книги [3]), Т является борелевским отображением из П в У. Доопределим его постоянным значением на дополнении к П и получим борелевское отображение из X в У с требуемыми свойствами. Теорема доказана. □
ЛЕММА 2.3.3. Пусть X и У вполне регулярные топологические пространства с метризуемыми компактами, с - непрерывная функция на X х У, р и и - вероятностные радоновские меры на X и У соответственно. Пусть 7 - вероятностная радоновская мера на X х У с = 76 7Гу7 = V. Если р не имеет атомов, то для всякого є > 0 существует последовательность измеримых множеств Ап С X, Вп С У и Хп С Ап таких, что выполнены следующие условия:
1. БИр |с(я?і, Ух) ~ С(Х2, У2) | < Є,
(хі,Уі),{Х2,У2)єАпхВп
2. Ап х Вп Л Ак х Вь — 0 при п ф к,
3. 7(иАп х В„) = 1,
4. р(Хп П Хк) — 0 при п к,
5. р(Хп) = 7(Ап х Вп).