Ортогональные и экстремальные полиномы на нескольких отрезках

• Автор: Лукашов, Алексей Леонидович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 241 с.

1 Экстремальные функции на нескольких отрезках
1.1 Функции Шоттки-Бернсайда
1.2 Алгебраические дроби Чебышева-Маркова на нескольких отрезках
1.2.1 Вспомогательные утверждения
1.2.2 Основной результат
1.3 Рациональные функции Чебышева-Маркова на нескольких отрезках
1.4 Тригонометрические функции, наименее уклоняющиеся от нуля на нескольких отрезках
2 Ортогональные полиномы на нескольких отрезках и дугах
2.1 Ортогональные многочлены на нескольких отрезках действительной оси
2.2 Ортогональные многочлены на нескольких дугах единичной окружности
2.3 Ортогональные рациональные функции на нескольких дугах единичной окружности
3 Асимптотическое поведение коэффициентов рекуррентных
соотношений ортогональных многочленов
3.1 Коэффициенты трехчленных рекуррентных соотношений
для многочленов, ортогональных на нескольких отрезках
3.2 Круговые параметры ортогональных многочленов на нескольких дугах единичной окружности

4 Различные задачи
4.1 Неравенства для производных рациональных функций на нескольких отрезках
4.2 Задача построения оптимального электрического фильтра
4.3 Тригонометрическая проблема моментов на нескольких отрезках
4.4 Интерполяционные процессы на нескольких отрезках
4.5 Некоторые обобщения свойств классических ортогональных многочленов
Библиография

В диссертации исследуется круг экстремальных задач теории приближений на нескольких отрезках действительной оси. Описано решение задачи Чебышева-Маркова на нескольких отрезках, его тригонометрический аналог; найдены представления ортогональных многочленов, обобщающих многочлены Бернштейна-Сегё, для мер Геронимуса на нескольких дугах единичной окружности; исследовано множество предельных точек последовательностей коэффициентов трехчленных рекуррентных соотношений и круговых параметров для этих ортогональных многочленов; установлены точные оценки производных рациональных функций и их тригонометрических аналогов на нескольких отрезках, точные по порядку оценки констант Лебега соответствующих интерполяционных процессов. В качестве применения разработанных методов и подходов получены результаты, обобщающие свойства классических ортогональных многочленов Чебышёва и Якоби, а также уточнен известный критерий разрешимости тригонометрической проблемы моментов на нескольких отрезках.
Тематика, связанная с полиномами, наименее уклоняющимися от нуля, началась с мемуара П.Л. Чебышёва [94], представленного в Академию Наук в 1853 г. Эта тематика занимала центральное место в теории приближений на первом этапе ее развития (этапе приближения индивидуальных функций посредством полиномов и рациональных дробей). П.Л. Чебышёв нашел точные решения ряда задач в этой тематике, но, поскольку число таких явных решений весьма невелико, в дальнейшем основное развитие теории приближений пошло по пути приближения классов функций различными методами, их сравнении между собой и т.д. (Подробнее см., например, обзор [377]). Тем не менее, точные решения как классических, так и вновь возникающих задач имеют, как правило, мно-

рода, причем равенства (1.11),(1.13) показывают, что они образуют а-нормированный базис пространства таких дифференциалов, и, значит, матрица А является матрицей периодов римановой поверхности 5. Отсюда, в частности, следует, что А - неособенная матрица.
Перейдем теперь к построению аналогов абелевых дифференциалов третьего рода. Для этого рассмотрим функцию
]Г(7чг + біУ
счг+Рі _ сііх+Рі _ ,
УІ*+ІІ Т.г+^і
Эта функция аналитична в и^10Т^ всюду, за исключением точек а,Ъ и их орбит (т.е. точек вида ТДа),Г^(6),У = 1,2,...). В области и|?.0Т, можно, после проведения дополнительного разреза, соединяющего точки а и 1>, и образов этого разреза при отображениях группы 0 (естественно, что новый разрез не пересекает ни старых разрезов А'рАр,р = 1,... Л — 1, ни окружностей дКі,... , дК{_1), определить однозначную ветвь интеграла вдоль пути от 20 до г от нее, т.е.
го-Ь/3,-
а,6(я,я0)=V (1-24)
■ „ І 2И+Й. _ уЛ і2іаі±& _ „)
(аія+Рі _ V, 7»*+^
например, выбрав ее таким образом, чтобы ХаД^о, 2о) = 0. Преобразуем функцию Ха,ъ{г> го) :
_ ул (а,-г + /3{- а(ця + Л,-))(оцг0 + Д - Ь{-цг0 + £))
Ха.ь 2, 20 00 + _ 5(7.г _|_ £))(а;г0 +Рг~ о(7*г0 + £.'))

/ 6іа-рі А 1 ( ЬЪ-Ь „
У.а+а,- “ ) —кМ-«і
( ьъ-ь Л 1 < к*~рі -)
^-ТіЬ+а; “) ^-7(а+а; )
Замечая, что
= Д-ЧД,
—7>'г + «»

7,-я + д)