Неравенства типа сидона и некоторые свойства пространства квазинепрерывных функций

• Автор: Радомский, Артем Олегович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 79 с.

Оглавление
Введение

§1.0 неравенствах типа Сидона для тригонометрической

системы и системы Уолша

§2. О возможности усиления неравенств типа Сидона

§3. О некоторых свойствах С^С нормы

Список литературы

Введение
В диссертации получены новые результаты о неравенствах типа Си-дона, улучшающие известные. Исследован вопрос о возможности усиления неравенств типа Сидона. Эти результаты помимо их самостоятельного интереса могут применяться для вычисления энтропийных чисел классов функций многих переменных. Последний параграф диссертации посвящен изучению некоторых свойств пространства квазинепрерывных функций, которое приобретает важное значение в теории функций в связи, в частности, с возможным приложением к вычислению аппроксима-ционных характеристик классов функций многих переменных с ограничением на смешанную производную или с условием липшицева типа на смешанную разность.

Везде в диссертации под ||/||р мы будем понимать норму в пространстве Ц‘[а) Ъ) :

Ц/Цоо =е88 8ир|/(х)|, ||/|р=([ ,1<Р<00,
[а, Ь] V-/ а /
где отрезок [а, Ь] будет, как правило, [0,27г] или [0,1], что всегда будет ясно из контекста.
Через с„(/) будем обозначать п-й коэффициент Фурье функции / :
£»(/) = ^ [" Пх)е-**<Ь.
27Г У
Мы используем также сокращение О.Н.С. — ортонормированная система.
Параграф 1 диссертации посвящен неравенствам типа Сидона. Напомним несколько основных определений:
Определение 0.1. Последовательность натуральных чисел щ <

П2 < ... < Пк < ■ ■ ■ называется лакунарной, если

Определение 0.2. Тригонометрический ряд называется лакунарным, если он имеет вид
Лакунарные ряды занимают важное место в классе общих тригонометрических рядов. В 20 в. они подверглись серьезному исследованию и было получено много интересных результатов в данной области (см., например, [1], гл. XI). Как выяснилось, лакунарные ряды обладают рядом интересных свойств. Нас прежде всего будут интересовать вопросы, связанные с абсолютной сходимостью данных рядов. В 1927 г. Сидон доказал следующую теорему.
Теорема (Сидон [30]). Пусть последовательность натуральных чисел удовлетворяет условию

где натуральные числа П& удовлетворяют неравенству
(0.1)

Тогда, если тригонометрический ряд

есть ряд Фурье ограниченной функции ф(х), то

КІ + Ьк < ОО.

2*+i 2 2k+
1 ^ ö ' 757*11* > *>**■ (2.3)
2 2(fc+1)E ~ 3 2(fc+1)
Действительно, из условий 1), 3) и 4) на А;о получаем
2(к+1У 2^+1^с 2^' 1 1
2# = 2ке W <2Äk?~ 2fc7 “ 2 • 53 < 64’
и неравенство (2.2) доказано. Неравенство (2.3) равносильно неравенству

2(fc+IF - 6> /С-/С°’
и следует из условия 2) на fco-
Пусть функция / £ 1/2(0, 2л) и последовательность {Д}^, Д € N, удовлетворяет условию
^±1><7>1, А: = 1,2,

Тогда для 5*(ж) = supfc>a |5ц(/, х)| справедливо неравенство (см. [8, т. 2, с. 246])
||S*||2 < co(g)||/||2, (2.4)
где константа со = со(д) > 0 зависит только от q. Возьмем константу со из неравенства (2.4), соответствующую q = 23/16. Положим а — тах(70'/8со, !)• Возьмем произвольное W > 8fco, W £ N. Положим а — [We]. Имеем (см. условия 5) и 1) на fco)
a
а > W¥- 1 > y/W - 1 > у/Ы* - 1 > V4Ö- 1 > 5. (2.6)
Полиномы Pk{x), к — 1 удовлетворяющие условиям теоремы,
будем строить по индукции с константой
С = 8fco + а + 150. _ (2.7)