Линейные и нелинейные некорректные задачи на классах функций с особенностями

• Автор: Антонова, Татьяна Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 155 с. : ил

ГЛАВА 1. Предварительные утверждения
1. Исследование вспомогательной функции
2. Аппроксимация положения разрывов и величин скачков
3. Вспомогательные равенства и оценки
ГЛАВА 2. Линейные уравнения 1 рода
1. Восстановление функций с конечным числом разрывов по зашумленным данным
2. Решение линейных уравнений типа свертки на классах разрывных функций
3. Решение линейных уравнений типа свертки на классах обобщенных функций
ГЛАВА 3. Уравнения типа свертки с конечномерной нелинейностью
1. Решение нелинейных уравнений на классах функций с разрывами
2. Решение нелинейных уравнений на классах обобщенных функций
ГЛАВА 4. Решение прикладных уравнений 1 рода
1. Решение нелинейных уравнений на классах функций с особенностями
2. Расшифровка структуры бинарного аморфного сплава
3. Метод коррекции параметров для уравнений 1 рода
4. Обратная задача гравиметрии
5. Решение задачи наклонного зондирования ионосферы
ПРИЛОЖЕНИЕ
А.1. Вспомогательные утверждения
А.2. Прикладные интегральные уравнения 1 рода
ЛИТЕРАТУРА

В диссертации рассматриваются (не)линейные проблемы, характеризующиеся тем, что их решение неустойчиво к малым возмущениям исходных данных, т.е. некорректно поставленные задачи. Теория регуляризации некорректно поставленных задач была основана в работах А.Н. Тихонова, В.К. Иванова, М.М. Лаврентьева, их учеников и последователей [27], [29], [34], [38], [39]. В настоящее время теория некорректно поставленных задач изложена в многочисленных монографиях, например, в [18], [22], [31], [36], [40], [44], [50], где можно найти ссылки на соответствующую литературу.
Неустойчивые проблемы возникают во многих областях науки, техники и естествознания. В частности, линейные и нелинейные интегральные уравнения 1 рода, возникающие при обработке экспериментальных данных в физике твердого тела [15], [59], привели к задачам, рассматриваемым в диссертации (примеры прикладных интегральных уравнений 1 рода см. также, например, в [19], [35], [39]). В работе не рассматривается огромная и активно развивающаяся область обратных коэффициентных задач [20], [30]. Также не обсуждаются статистические методы регуляризации [41].
В диссертации изучаются следующие задачи: восстановление функции по зашумленным данным, решение линейного уравнения типа свертки и решение уравнения с конечномерной нелинейностью специального вида. Задача сглаживания зашумленных данных исследовалась во многих работах, в которых использовались разнообразные
ты В, А, А такие, что для любого М > 0, для любого достаточно малого 6 > 0 при связи параметров Вр+0 5в(В) = М/6 > В, для всех к = 1,2справедливо равенство
Акфв(з - в*) = - «§)(.«), яир |о$)(*}| < А1/Вр.
Кроме того, для всех в, не принадлежащих множеству и^.=1 [в* — А,$к + А], имеем |«/^(8)| < А1ВР.
Доказательство. Используя разложение (2.8), для функции хв получаем представление
Хе(8) = х*{в)+'£Ак-Ф(В,з-зк) + а^(«) + -4= / (т)йг,
к=1 У-«г_в Щг)

8ир|оп (*)| < Ад/Вр, р = 0.5, А0 — константа.
Й 1
Ясно, что для з е ( 2(12 |/ф?(тМг|< А'0/Д>, А'0 = 2<М0.
Используя лемму 4 из приложения А.1, получаем
/($(2Дг-%)-Ф(Дг-^))*
= <(>в(з - 5*) + J (Ф(2В, г - в*) - Ф(В, г - «*))<&
—СО
Для л ^ 0 для последнего интеграла имеем