Асимптотическое поведение минимальной поверхности над полосой

• Автор: Акопян, Рипсиме Сергоевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Волгоград
• Количество страниц: 75 с.

Глава 1. Подготовительные результаты

§1.1. Уравнение минимальных поверхностей

§1.2. Минимальные поверхности над полуполосой и их глобальная характеристика

§1.3. Пример минимальной поверхности

над полуполосой

§1.4. Изотермические координаты на минимальной поверхности и конформное отображение на полуполосу

Глава 2. О стабилизации минимальных поверхностей над полуполосой

§2.1. Оценка конформного отображения и принцип Фрагмена—Линделефа для

голоморфных в полуполосе функций

§2.2. Голоморфные функции в метрике

поверхности и принцип Фрагмена—
Линделефа
§2.3. О допустимой скорости стремления к нулю гауссовой кривизны минимальной поверхности над полуполосой
§2.4. О допустимой скорости стремления к постоянной градиента решения уравнения минимальных поверхностей над
полуполосой
§2.5. Теоремы типа Фрагмена—Линделефа для минимальной поверхности над полуполосой
Список литературы

Теория минимальных поверхностей интенсивно развивалась в течение всего последнего столетия и продолжает развиваться в различных направлениях в настоящее время. Важнейшие результаты этой теории стали классическими и широко известными благодаря работам Ф. Альмгрена, С.Н. Бернштейна, JI. Берса, Дж. Дугласа, И.С.С. Ниче, Р. Оссермана, A.B. Погорелова, Дж. Саймонза, Г. Федерера, Р. Финна, У. Флеминга, А.Т. Фоменко, а также в самые последние годы — Ю.А. Аминова, Э. Бомбьери, A.A. Борисенко, Э.Де Джиорджи, Э. Джу-сти, О.В. Иванова, В.М. Миклюкова, У. Микса, И.Х. Сабитова, JI. Саймона, В.Г. Ткачева, A.A. Тужилина, Д. Хофмана и др.
Минимальные графики z = f(x,y) над областями R2 описываются квазилинейным дифференциальным уравнением
дх (tTTFv/f) + ду (v/1 + |V/|2) = °’ (°Л)
где / = f{x,y), fx = §£, fy = fl, |V/|2 = fl + flОсобое внимание многих исследователей было направлено на изучение решений этого уравнения в неограниченных областях. В значительной мере этому способствовала знаменитая теорема С.Н. Бернштейна (1915) [5], о том, что всякое целое решение уравнения (0.1) является линейной функцией переменных х, у. В работах Р. Финна [43], Л. Берса [6], X. Дженкинса [11], Р. Оссермана [30], Л. Саймона [37], В.М. Миклюкова [21] теорема С.Н. Бернштейна была распространена на различные классы уравнений типа минимальных поверхностей.
Другим важным результатом для минимальных графиков над неограниченными областями в R2 является следующая теорема И.С.С. Ниче 1965 года [28]:

§2.3. О допустимой скорости стремления к нулю гауссовой кривизны минимальной поверхности над полуполосой
Обозначим через К(х,у) гауссову кривизну поверхности z — f(x,y). Как известно из курса дифференциальной геометрии ([12], стр. 90),
к( ч fxxfyy - fly , .
1,У) (1 + IV/I2)2' 1 j
Покажем, что для минимальной поверхности выполняется следующее неравенство
К(х,у) < 0.
Из (1.2) будем иметь
2/х/у/гу = (1 + fx)fyy + (1 + fy)fxx•
После возведения обеих частей этого равенства в квадрат, получим
4fxfyfxy = (1 + fx)2fyy + (1 + fy)2fxx + 2(1 + fx){ 1 + fy) fxxfyy
Так как выражение 4/2/2 в левой части равенства можно представить в виде
4/х/у — 2(1 + /х)( 1 + fy) ~ (2 + fl + f2) - (fx — fyf,
то будем иметь
2(1 + fx){ 1 + fy)(fxy ~ fxxfyy) = (1 + fx)2fyy+
+ (1 + fy)2fxx + (2 + fl + fy) fxy + (fx — fy)2 fly (2.5)
Поскольку выражение в правой части этого равенства не может быть отрицательным, следовательно
fxy ~~ fxxfyy