Проблемы исчисления дифференциальных форм на римановых многообразиях

• Автор: Шведов, Игорь Александрович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 315 с.

Оглавление
Введение

Краткий обзор глав

Подробное описание результатов диссертационного исследования

1 Исчисление дифференциальных форм Соболевского типа

1.1 Дифференциальные формы на липшицевом

многообразии

1.1.1 Классы дифференциальных форм в К"

1.1.2 Отображения, сохраняющие классы

1.1.3 Дифференциальные формы на липшицевом многообразии. Теорема де Рама

1.1.4 Теория Чженя — Вейля для расслоений над липшицсвым многообразием

1.2 Об интегрировании дифференциальных форм
классов
1.2.1 Основное неравенство
1.2.2 Интегрирование липшицевых форм
1.2.3 Интегрирование форм из УУ
1.2.4 О теореме де Рама
1.3 Интегральное представление интеграла
дифференциальной формы
1.3.1 Необходимые сведения о пространствах
1.3.2 Интегральное представление
1.3.3 Интегрирование по некомпактным многообразиям
1.3.4 Примеры
2 Изоморфизм де Рама Тр-когомологий
2.1 Тр-когомологии звездно-ограниченных симплициальных комплексов
2.2 Изоморфизм когомологий Н*(М) и Я*(£р(К))
3 Тр-когомологии римановых многообразий
3.1 Тр-когомологии римановых многообразий
3.1.1 Гомологии банаховых комплексов
3.1.2 Двойственность Пуанкаре
3.1.3 Устранимые особенности
3.1.4 Тр-когомологии конуса
3.1.5 Примеры комплексов Г

3.2 Редуцированные Lp-когомологии искривленных цилиндров
3.2.1 Оператор гомотопии
3.2.2 Lp-когомологии пары и точная когомологическая последовательность
3.2.3 Редуцированные когомологии цилиндра и С[ЬХ и пространства Щ+х
3.3 Lp-когомологии искривленных цилиндров
3.3.1 Условия Lp-ацикличности
3.3.2 Весовые Lp-когомологии полуинтервала [а, Ь)
3.3.3 Lp-когомологии цилиндра С1ЬХ
3.4 Адциционные формулы для редуцированных Lp-когомологий
3.4.1 Лемма
3.4.2 Обозначения
3.4.3 Точные последовательности
3.4.4 Приложения к искривленным цилиндрам
4 Нормальная и компактная разрешимость оператора внешнего дифференцирования
4.1 О нормальной и компактной разрешимости оператора внешнего дифференцирования при однородных краевых условиях
4.1.1 Предварительные сведения о замкнутых операторах
4.1.2 Редукция граничной задачи к задаче
на окрестности края
4.1.3 Дифференциальные формы на цилиндре
4.1.4 Граничные задачи на цилиндре
4.1.5 Примеры компактно разрешимых задач
4.2 О нормальной разрешимости оператора внешнего дифференцирования
на искривленном цилиндре
4.2.1 Предварительные сведения
4.2.2 Теорема вложения
4.2.3 Пространство Я(М)о для искривленного цилиндра М
4.3 О нормальной разрешимости оператора внешнего дифференцирования
на искривленных произведениях
4.3.1 Банаховы комплексы RPtr(X,T,£)
4.3.2 Комплексы RPtY~(X, т, £) и искривленные произведения
4.3.3 Когомологии комплексов Rpf(X, т, £) и нормальная разрешимость операторов дг
4.3.4 Случай искривленного цилиндра
4.4 О компактной разрешимости оператора
внешнего дифференцирования
4.4.1 Компактно разрешимые операторы
4.4.2 Критерии компактной разрешимости оператора внешнего дифференцирования
4.4.3 Случай искривленных произведений
4.4.4 Случай искривленных цилиндров

5 Финитная аппроксимация дифференциальных форм
5.1 О финитной аппроксимации замкнутых дифференциальных форм на ри-мановых многообразиях специального вида
5.1.1 Предварительные сведения
5.1.2 Условия совпадения пространств ВВВ£
5.1.3 Пространства В*/ Въ Z*j Z
5.2 О финитной аппроксимации дифференциальных форм в весовых пространствах соболевского типа
5.2.1 Пространства дифференциальных форм
5.2.2 Формула гомотопии и операторы ограничения г£ и
5.2.3 Финитная аппроксимация дифференциальных форм
5.2.4 Финитная аппроксимация дифференциальных форм
на искривленных цилиндрах
6 Формула Кюннета
6.1 О формуле Кюннета для редуцированных
I/2-когомологий
6.2 Lp-КОГОМОЛОГИИ искривленных произведений липшицевых римановых многообразий
6.2.1 Дифференциальные формы на лишиицевом римановом многообразии
6.2.2 Преобразование Т
6.2.3 Дифференциальные формы со значениями в банаховых комплексах
6.2.4 Формула Кюннета
7 Банаховы комплексы и дифференциальные формы
7.1 Гомологические аспекты теории банаховых комплексов
7.2 К теореме компактности для дифференциальных форм
8 Эллиптические дифференциальные комплексы и многообразия с цилиндрическими концами
8.1 О компактной разрешимости дифференциалов эллиптического дифференциального комплекса
8.2 Адциционная теорема для многообразий с дискретным спектром оператора Лапласа
8.2.1 Предварительные сведения об операторах в банаховых пространствах
8.2.2 Банаховы и гильбертовы комплексы
8.2.3 Адциционная теорема для гладких многообразий
Литература

Обозначим через 2 подпространство пространства 2к~х]Ур(Х, Я), образованное теми формами <р Є 2к~1Цгр(Х, В), для которых существуют замкнутые формы Є И££(М, А), совпадающие с тт*ір на Мх.
Отображение д : И/'р'"1(Х, В) —> И/1ос(М, Л) индуцирует отображение
?л : ИЧД/ИУДЯ) -» И&ЛМ.уЦ/В*.
Вложения г : {а} х X —> М0 и 3 : [а, а! х X —> М индуцируют отображения
Г : Нк-Л (М0, М0 ПА)-» Я*”1 (Я, Я)
3* гк -» Яр ([а, а'] х X, [а, а'] х Я) = Я*(*, Я).
Отображение X непрерывно, и І* (X/) = 0- Поэтому отображение ;* индуцирует некоторое отображение у* : 2к/2к —» Нк(Х,В).
Обозначим символом у отображение Яр/ Я£ —> 2к/ 2к, индуцированное тождественным вложением Яр С 2*. Введем обозначения: {а} х X = X, А П М0 = у10, А П М — X и А ~ Р0, X и А = і*.
Теорема 5.1.1. Последовательность
нк{м0,А0) -> нк~х,в) Ь вк/вк Л гк/гк Д нк(х, я) Л нк+1{м0,Е0)
(0.0.8)
полуточна и точна в членах Вк/Вк и 2к/ Яслм і*, = оо, то Вк/ Вк = 0. Если 1к = оо, то 2// гк = 0. Если дк < оо, то последовательность (0.0.8) точна в члене Нк~1(Х, В). Если 1к < оо, то последовательность (0.0.8) точна в 'члене Нк[Х,В). Если бк + 1к < ос, то точна последовательность
Нк-Ма,А0) Д Ук~1{Х,В)/Вк~1Шр{Х,В) Д Я£/ЯСЧ
причем подпространство 1т дд плотно в Вк/ Вк и біт Вк/ Вк = біт 2к/ 2к = оо.
Следствие 5.1.2. Подпростпранство Вк плотно в Вк тогда и только тогда, когда выполнено хотя бы одно из следующих условий:
1) Зк = оо, 2) 1к = схэ и г* : Нк~1(Мо, Ло) —> Нк~1(Х, В) сюръективно.
Следствие 5.1.3. Подпространство 2* плотно в 2к тогда и только тогда, когда выполнено хотя бы одно из следующих условий:
1) 1к = оо, 2) = оо и д : Нк{Х, Я) —> Нк+1(М0, Я0) инъективно.
Точность последовательности 0 —> Вк/Вк —> Вк/Вк —> Яр/ Я* —> 0, леммы 5.1.8, 5.1.9 и теорема 5.1.1 позволяет, зная, конечны или бесконечны интегралы 1 и / вывести соотношения между пространствами Вк/Вк = 0п выписать соответствующие меры неточности на языке точных последовательностей. Дуальные утверждения дают информацию о 2к/2к.
Следствие 5.1.2 в случае к = 1 дает полное решение задачи Соболева о Яр-аппро-ксимации потенциальных векторных полей па многообразиях специального вида. Следствие 5.1.3 в случае к = п решает задачу Хейвуда о Яр-аппроксимации соле-ноидальных полей на тех же многообразиях.