Аппроксимация некоторых классов функций линейными и нелинейными множествами полиномиальных сплайнов одной и двух переменных

• Автор: Байдакова, Наталия Васильевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 101 с.

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. Оценки аппроксимации функций интерполяционными многочленами степени 4т + 1 и 4т +
Введение
§1. Предварительные сведения и результаты
§2. Существование биркгофовых интерполяционных многочленов степени 4т + 1 и 4то +
§3. Оценки сверху
§4. Оценки снизу А'-''"
ГЛАВА II. Приближение функций ха и хауа нелинейными множествами линейных и билинейных сплайнов
Введение
§1. Влияние вида разбиения отрезка на приближение функции ха
§2. Приближение функций ха и хауа
ЛИТЕРАТУРА

Введение
Диссертация состоит из введения и двух глав. В первой главе изучается зависимость приближения функций из И/4ш+2М и Ц/4т+3М (см. ниже) и их производных на треугольнике А С Я2 (Я - множество вещественных чисел) интерполяционными полиномами степени 4т+ 1 и 4т, + 2 (т - натуральное число; т > 2 для случая 4т + 1) от геометрических характеристик треугольника. Эта задача тесно связана с методом конечных элементов. По лемме Сеа [26], скорость сходимости метода конечных элементов на области 12 С Вп зависит от расстояния между решением краевой задачи и подпространством конечных элементов. Однако нахождение этого расстояния является достаточно сложной задачей, и для оценки ошибки метода обычно используют не проекцию решения на пространство конечных элементов, а интерполяционную кусочно полиномиальную функцию. Последняя задача в свою очередь сводится к проблеме локальной интерполяции - интерполяции на каждом отдельно взятом конечном элементе (в данном случае это треугольник, а О - область в Л2, которую можно разбить на конечное число треугольников, таких, что любые два замкнутых треугольника либо не имеют общих точек, либо имеют одну общую точку, либо имеют одну общую сторону) из триангуляции исходной области. При этом выбор интерполяционных условий определяет базисные функции, участвующие в построении подпространства конечных элементов, на котором идет поиск приближенного решения краевой задачи, в связи с чем первая глава по сути является исследованием

в области приближения функций линейными множествами сплайнов. Проблема построения пространства конечных элементов побуждает многих авторов изучать существование интерполяционных многочленов на различных множествах, составляющих триангуляцию исходной области П С Rn, их аналитическое представление, гладкость соответствующих кусочно полиномиальных функций на Q. Обзоры таких исследований и примеры пространств конечных элементов можно найти, например, в книгах Деклу [5], В.Г.Корнеева [10], Зенкевича и Моргана [8], Сьярле [26].
Для описания интерполяционных полиномов, изучаемых в первой главе, введем следующие обозначения: N - множество натуральных чисел, Z+ - множество неотрицательных целых чисел, Д - невырожденный треугольник в Л2, w = (х.у) G R2. Через а,; (г = 1,2,3) будем обозначать вершины треугольника Д; через а, ß, в - величины углов треугольника Д при вершинах ор, аг, «з соответственно, 7(у) = max{l,ctg'7>}. Через пг, г = 1,2,3, обозначим единичную нормаль к стороне треугольника [а,, щ+1], где сц = aj. Направление нормалей щ несущественно с точки зрения аппроксимативных свойств строящихся полиномов, однако оно имеет значение для обеспечения гладкости результирующих кусочно полиномиальных функций на триан гулированной области U (в данном случае И С R2 разбивается на треугольники). Для определенности выберем направление нормалей п,-. г — 1,2,3, к сторонам [a;,a,;+i] следующим образом: если первая координата точки а; меньше первой координаты точки а1+ или первые координаты этих точек равны, а вторая координата точки аг меньше второй координаты точки аг-+ь то пусть ггг будет направлена влево при движении от точки а,- к а,+ р в противном случае щ будет направлена влево при движении от аг+ к а,-. На каждой из сторон [аг.а1+\

~0кЯт+{х,0) = 0, (1-20)
0 < к < т.
Рассматривая точно так же стороны [<22, а3] и [03,01], получаем следующие равенства:

— 0, (1.21)
(*,у)б[аг,оз]
0 < к < т;

дпк4т+1 (х’!
= 0, (1.22)
(г,у)€[а3,а1]
О < к < т.
Зафиксируем <, 2т + 1 < t < 3т, и рассмотрим следующую систе-
д1(Э4т+1(—а,0) „ ,
му уравнений относительно д~ттд~7— > 0 < I < t. Первые т +
дх1~‘оу‘
уравнений следуют из (1.21):
дгд4т+1(-а,0) ф, 5гд4т+1(-а,0) п
" = 5 (*+1)(,+1) дх-Щу1 = °’ (1'23)
0 < к < т,
где коэффициенты а+1)(/+1) определяются формулой (1.1). Следующие £ — 2т — 1 уравнений представляют собой часть условий (1.18):
д4т+1(-а,0) ф. <94т+1(-а,0) п
= - = °- <1-24)
т + 1 где а(*+1)ц+1) определяются формулой (1.2). Последние т + 1 уравнений следуют из (1.20):