Регулярность и аппроксимативные свойства линейных методов суммирования двойных рядов Фурье

• Автор: Носенко, Юрий Лаврентьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Донецк
• Количество страниц: 113 c. : ил

ГЛАВА I. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ДВОЙНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ

§ I. Основные обозначения и определения

§ 2. Достаточные условия типа Сидона-Теляковско-го интегрируемости двойных тригонометриче

ских рядов из косинусов

§ 3. Достаточные условия типа Сидона-Теляковско-го интегрируемости двойных тригонометриче -ских рядов из синусов и косинусов и из СИ
нусов
§ 4. Достаточные условия типа Фомина интегриру -емости двойных тригонометрических рядов из
косинусов
ГЛАВА II. АППРОКСИМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ СРЕД -НИХ РИССА ДВОЙНЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ § I. Оценка уклонения непрерывных функций двух переменных от их прямоугольных средних Рис-

§ 2. Точная оценка уклонения непрерывных функций двух переменных от их прямоугольных средних
Рисса четных показателей
§ 3. Порядок уклонения ^ £ 1^ (Т*) 4 «С р
от их прямоугольных средних Рисса

ГЛАВА III. РЕГУЛЯРНОСТЬ И АППРОКСИМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА СРЕДНИХ ТИПА БЕРНШТЕЙНА-Р0Г03ИНСК0Г0 ДВОЙНЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ
§ I. Регулярность средних типа Бернштейна-Рогозин-ского в случае частичных сумм по параллело
граммам и треугольникам
§ 2. Средние Бернштейна-Рогозинского в случае частичных сумм по произвольным многоугольникам
§ 3. Регулярность средних типа Бернштейна-Рогозинского в случае распределения меры по некото
рым фигурам и линиям
§ 4. Аппроксимативные свойства двумерных прямо
угольных средних Бернштейна и Рогозинского
ЛИТЕРАТУРА

В диссертации изучаются линейные методы суммирования (линейные средние) двойных рядов Фурье. При этом основное внимание уделяется регулярности линейных средних двойных рядов Фурье непрерывных функций и аппроксимативным свойствам этих средних в терминах различных модулей гладкости рассматриваемых функций.
В одномерном случае эти вопросы изучались в работах многих авторов, и в большинстве случаев здесь найдены окончательные ответы, изложенные в фундаментальных монографиях Н.К. Бари [I] и А. Зигмунда [2] , [з] . Отметим также монографии Н.И. Ахиезера [4] , А.Ф. Тимана [5] , В.К. Дзядыка [б] , широко и обстоятельно освещающие вопросы по данной тематике.
Иная ситуация в случае двойных (и вообще кратных) рядов Фурье. Теория этих рядов (кроме отдельных результатов Л. Тонел-ли, С. Бохнера) получила широкое развитие в последние 15-20 лет. По кратным рядам имеются отдельные главы в монографиях А. Зиг -мунда [з] , С.М. Никольского [?] , И.Стейна и Г. Вейса [8] , обзоры [9] , [10] , [II] (см. также [12] , [13] ). Среди отдельных результатов отметим здесь работы Ч. Феффермана,
И. Стейна, К.И. Бабенко, В.А. Ильина, Ш.А. Алимова, Е.М. Никишина.
Тем не менее, теория кратных рядов Фурье развита значи -тельно слабее, чем в одномерном случае. Трудности, связанные с

и?(г-и~(1гн)иг) І игІ г-и—(£г+і)а*}
«К-**)* I * и^ ,
(и'+Р-*- игг')А~
При и
I г”и"'«-11’)1 ^ и1г(1-и*)
(ич+ г*- и*гг*)* и** ~ ’
при и 7 V
1у^и^Г^У[ , I у ,
и-*-*
апри **%*у "££<£11 , /У^ап а/«П
(и*+Г*~и*Г*)£~ V
значит, / <^^/ ^ С&)» Следовательно, ^(и,1У) удовлетворяет условиям 1и 2 леммы АД при £ = -у . Для проверки ограниченности
/О "
(р ц и ^ фактически использовано неравенство (О - СС £ і)
У/ хау *~а?
при СС-0 и & ~ /. В дальнейшем будем пользоваться этим неравенством в сходных ситуациях. Поскольку далее ^"ии и Сих чис -лители представляют собой алгебраические многочлены) как функции одной переменной при фиксированной второй имеют конечное число нулей (зависящее только от Т ), то для выполняются и условия 3 и 4 той же леммы. После применения леммы АД приходим к С 2.13). Неравенство (2.14) доказывается аналогично.
Используя следующие очевидные свойства частичных разностей
К&+А)! /.// +//ЛДЛ,
и а *г'Щ,