Системы всплесков с матричным коэффициентом растяжения

• Автор: Максименко, Ирина Евгеньевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 102 с.

Оглавление

§0. Введение

Глава 1. Вспомогательные результаты

§1. Вспомогательные результаты

Глава 2. Системы всплесков в несепарабельном случае .

§2. Масштабирующее уравнение

§3. Кратномасштабный анализ

§4. Базисы всплесков

Глава 3. Биортогональность целых сдвигов масштабирующих функций в несепарабельном случае

§5. Вспомогательные утверждения

§6. Биортогональность целых сдвигов масштабирующих функций в терминах масок

§7. Характеризация биортогональности в терминах собственных векторов оператора
§8. Достаточные условия биортогональности
Глава 4. Многомерные всплески в двухканальных системах
§9. Функции всплесков
§10. Построение гладких масштабирующих функций
§11. Пример
Глава 5. Периодические системы всплесков в несепарабельном случае
§12. ПКМА и масштабирующая последовательность
§13. Пространства всплесков
§14. Всплески Котельникова-Шеннона
Литература

§0. Введение
Базисы всплесков играют важную роль как для решения ряда прикладных задач, так и в качестве аппарата теории приближения функций. В конце 80-х годов в работах С. Малла [24] и И. Мейера [25] был предложен метод построения базисов всплесков в Ь2{К), основанный на конструкции кратномасштабного анализа (далее КМ А). Суть метода состоит в следующем. КМА порождается некоторой функцией (называемой масштабирующей), обладающей рядом специальных свойств. По масштабирующей функции строится другая функция (называемая функцией всплесков), сдвиги и растяжения которой и образуют базис всплесков в Б2(Ж) (см., например, [1], гл. 5). Для построения многомерных базисов всплесков существуют различные подходы. Во-первых, можно взять тензорное произведение нескольких одномерных базисов всплесков. Такой путь прост, но полученный многомерный базис не наследует все достоинства породившего его одномерного базиса. Во-вторых, для построения сТмерного базиса всплесков можно рассмотреть тензорное произведение й одномерных КМА - конструкцию, аналогичную одномерной, порожденную функцией, являющейся тензорным произведением одномерных масштабирующих функций (сепарабельный случай). В этом случае естественным образом возникает несколько многомерных функций всплесков, сдвиги и растяжения которых образуют базис в Ь2(Ш*). В определении КМА И. Мейера [25] коэффициентом растяжения является диагональная матрица с двойками на диагонали, т. е. растяжение по всем направлением одно и то же. Для некоторых прикладных задач представляют интерес и другие коэффициенты растяжения. Более общий подход к многомерному КМА дан, например, в книге П. Войтащика [30]. В качестве коэффициентов растяжения рассматриваются целочисленные матрицы, удовлетворяющие некоторым естественным требованиям.
Задача нахождения функций всплесков в многомерном случае ока-

залась существенно более сложной, чем в одномерном. При различных предположениях на масштабирующую функцию она рассматривалась в работах К. де Бора, Р. Девора, А. Рона [14], Р.К. Джиа, К. А. Митчел-ли [18], [19], С.Д. Рименшнейдера, 3. Шена [26], [27]. В наиболее общем случае явное описание метода построения функций всплесков получено Р.К. Джиа, 3. Шеном [20]. В [28], [17] X. Джи, С.Д. Рименшнейдер, 3. Шен дали описание алгоритма построения ортогональных и биортогональных базисов всплесков, в случае, когда соответствующие масштабирующие функции имеют компактный носитель.
Для того, чтобы построить ортогональную систему всплесков необходимо найти масштабирующую функцию, то есть функцию, удовлетворяющую следующему функциональному уравнению
<р{х0 = X сч<р{2х — д), х 6 Ж, с 6 I2. (0.1)

Уравнение (0.1) называют масштабирующим уравнением, а последовательность с — маской. Масштабирующая функция может быть построена по маске. При этом наибольший интерес вызывают маски с конечным носителем. С другой стороны, для построения ортогональных базисов всплесков требуется обеспечить ортогональность целых сдвигов масштабирующей функции <р. Необходимое условие для этого хорошо известно:
2 У) СкСк-21 = бю, I £ Ъ. (0.2)

Но это условие не является достаточным. Достаточные условия ортогональности для одномерного случая активно изучались в начале 90 гг.
Всего в одномерном случае известно четыре необходимых и достаточных условия ортогональности целых сдвигов масштабирующих функций. А. Коен [11] показал, что ортогональность зависит от поведения маски на некотором компактном множестве (первое условие), а также

С другой стороны, из леммы 3.5, примененной к функции <р, следует ifiVjk ) I2 = / I '^21{1и + М*Ч)ф(М*~3и) + 1)2(1ги =
№ м*По,1У ^
= ( ^2 ${ю + М**к)(р{М* ■'ии + k)f(w + М*Н)ф{М* •'го + £)йго
Ь/еЖ-
М*3[0,1У
= [ f{w)^p{M* •'го)/(го + М*Н)(р{М* + £)(!&.
Отделим в последнем выражении слагаемое, соответствующее £ = О, а остальное обозначим через А,-, получим
) I2 = У>|/Н|2|^(М*~:'щ)|2сгш + (3.11)
Поскольку / € С^2<г+1) (М^), значит, / € Ь0О(М'г), следовательно, интеграл в правой части (3.11) конечен. Предположим, что Щ стремится к нулю, если 3 стремится к бесконечности. Тогда из (3.10) следует, что первое слагаемое в правой части (3.11) стремится к нулю при j стремящимся к бесконечности. Оценим норму функции /
<1х +
= |£(°)| 2 [£{м* ^)|21/(*)| +|дог21 (|«о)|! - |/м|
2(1х.
В последнем выражении первое слагаемое стремится к нулю, по предположению, а второе слагаемое стремится к нулю из-за непрерывности (р в нуле. Значит, норма /, а следовательно и норма / равна нулю, что противоречит предположению, что / ф 0. Таким образом, осталось проверить,