Бифуркации экстремалей фредгольмова функционала из угловой точки минимума

• Автор: Белоглазов, Алексей Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 120 с. : ил.

1 Бифуркационный анализ фредгольмовых функционалов

1.1 Общие сведения о фредгольмовых уравнениях

1.2 Леммы Морса

1.3 Фредгольмовы уравнения с параметрами

1.4 Схема Ляпунова - Шмидта (локальная)

1.5 Вариационная версия метода Ляпунова - Шмидта

1.6 Редукция Морса - Ботта

1.7 Обобщенная редукция

1.8 Приближенное вычисление ключевой функции

1.9 Угловые особенности гладких функций и функционалов

1.10 О модах бифуркации и вычислении ключевых функций

1.11 О топологическом сравнении ключевых функций и условиях конечной определенности
1.12 Инвариантность ключевой функции относительно гамильтонова и лагранжева формализмов
2 Бифуркации экстремалей из угловых особых точек
2.1 Основные условия. Вывод ключевых уравнений
2.2 Одномерное вырождение
2.3 Омбилическая особенность гиперболического типа
2.3.1 Нахождение каустического множества

2.3.2 Случай омбилической точки гиперболического типа
на вершине 2—гранного угла
2.3.3 Расклады бифурцирующих экстремалей
3 Бифуркационный анализ некоторых нелинейных задач математической физики
3.1 Гамильтонова система с гамильтонианом в нормальной форме Биркгофа
3.2 Двухмодовые бифуркации равновесий упругой
балки с квадратичной упругой силой
3.2.1 Сведение к операторному уравнению
3.2.2 Переход к ключевому уравнению
3.2.3 Изгибы упругой балки при наличии полуограничений
3.3 Волны в нелинейных средах
3.3.1 О периодических волнах в нелинейных средах.с одномерным параметром порядка
3.3.2 Редукция функционала энергии в случае
резонанса 1:2
3.4 Бифуркации стабильных концентраций вещества в среде с нелинейной диффузией
Литература

В аналитической механике, теории упругих систем, теории фазовых переходов, системостатике и других разделах современного естествознания естественным образом возникают нелинейные вариационные задачи с по-луограничениями вида
V(х) —> inf, ди{х) >0, х е М, к = 1,2, ... , т,
где Н(ж), дк{х) — гладкие функционалы на гладком банаховом многообразии М (см., например, [7], [И], [15], [33], [40] - [43], [51], [53], [71], [72], [76], [77]). Такие задачи приводят, в частности, к вопросу о бифуркациях экстремалей из угловой точки края банахова многообразия [57].
В теории особенностей гладких функций на конечномерных многообразиях получил развитие анализ так называемых краевых и угловых особенностей (В.И. Арнольд, Д.Сирсма, С.Т.С. Уолл, Д. Пит, Т. Постон и др.) [2], [56],[83], [84]. В частности, В.И. Арнольдом был сформулирован принцип отождествления краевых особенностей с особенностями, инвариантными относительно действия элементарной инволюции (инволюция называется элементарной, если коразмерность ее зеркала равна единице). Этот принцип позволил перенести понятие краевой особенности на комплексный случай и развить соответствующую теорию [2]. Позже Д. Сирсмой [83] были введены и исследованы угловые особенности (1981) как обобщение краевых особенностей. Теория краевых и угловых особенностей гладких функций получила дальнейшее развитие в работах В.А. Васильева, A.A. Давыдова, В.И. Матова и др. [13], [14], [23] - [25], [46], [47]
Бифуркации экстремалей фредгольмовых функционалов на банаховых многообразиях в классической ситуации (без полуограничений) достаточно хорошо изучены на основе метода конечномерной редукции [7], [8], [35], [41], [58]. Сравнительно недавно Ю.И. Сапроновым, A.B. ГнездилоКлючевая функция И^ьСг) определяется сужением на Му.

іп£
9і(«0=£і,92(“)=6г
У(ги, Л) = V(а(д) + &еі + 6>е2 + о(£) + 0(5), Л).
Ниже будут предполагаться выполненными некоторые дополнительные условия;
Условие 1. іА3)(еі) > 0.
Условие 2. (Н(Ло)е2, е2) > 0.
Условие 3. <5і, еі) > 0, (у2!Ф) > 0, (зі,е2) < 0, (д2,е2) < 0.
Тогда главная часть ключевой функции (после соответствующих замен переменных и отбрасывания "лишних" слагаемых) может быть представлена в виде:
Наличие ограничений С приводит к исследованию функции в угле
Угловая кратность Д нулевой критической точки функции 1¥(х,у,) (при й = дг = д2 = 0) равна 5. Бифуркационный анализ семейства полиномов в окрестности угловой точки с алгебраической кратностью равной 6 был осуществлен О.В. Швыревой [69] в связи с 2—точечной задачей для "маятникового" уравнения. В ряде работ изучались полиномы с более высокими алгебраическими кратностями. Случай пятикратной особой угловой точки остался не исследованым.
Замечание 2. Кроме вырожденной пулевой критической точки главной части функции (2.2), на дополнениях к граням угла (2.8) имеется пара невырожденных экстремумов. В диссертации рассматриваются только малые возмущения, не приводящие к переходу данных точек на стороны угла (2.3).
х + ау > 0;. х + а2у> 0,
(2.3)