Канонические и граничные представления на пространстве Лобачевского

• Автор: Грошева, Лариса Игоревна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Тамбов
• Количество страниц: 101 с. : ил.

§ 0. Введение

Глава I. Канонические и граничные представления на плоскости Лобачевского

§ 1. Плоскость Лобачевского

§2. Элементарные представления группы 0/{±Е}

§ 3. Преобразования Пуассона и Фурье, сферические функции

§ 4. Разложение квазирегулярного представления

§ 5. Разложение формы Березина

§ 6. Канонические представления

§ 7. Граничные представления

§8. Преобразование Пуассона, связанное с каноническим представлением

§ 9. Преобразование Фурье, связанное с каноническим представлением

§ 10. Разложение граничных представлений
§11. Разложение канонических представлений
Глава II. Канонические и граничные представления на пространстве Лобачевского
§ 12. Псевдоортогональная группа БОо (п — 1,1)
§ 13. Пространство Лобачевского (гиперболоид)
§ 14. Представления псевдоортогональной группы, связанные с конусом . ,
§ 15. Преобразование Пуассона
§ 16. Преобразование Фурье
§17. Сферические функции
§ 18. Спектральное разложение оператора Ьа
§ 19. Разложение квазирегулярного представления
§ 20. Разложение формы Березина
§21. Максимально вырожденные серии представлений группы БЬ(п, К)
§ 22. Канонические представления
§ 23. Граничные представления
§ 24. Преобразование Пуассона, связанное с каноническим представлением
§ 25. Преобразование Фурье, связанное с каноническим представлением
§ 26. Разложение граничных представлений
§ 27. Разложение канонических представлений
§ 28. Базисы для граничных представлений
Литература

§0. Введение
1. Канонические представления на эрмитовых симметрических пространствах С/К были введены Березиным [3], [4] и Вершиком Гельфандом-Граевым [6] - для целей квантования и квантовой теории поля. Сам термин "канонические представления" был введен в [6]. Эти представления были унитарными относительно некоторого нелокального скалярного произведения (сейчас называемого формой Березина). Березин получил разложение этих представлений и изучил их поведение, когда параметр А, нумерующий их, стремится к —оо, и тем самым установил справедливость принципа соответствия из квантования. Подробные доказательства были даны в [32].
Как нам кажется, рамки унитарности являются слишком узкими. Более естественным нам представляется рассматривать канонические представления в более широком смысле: мы отказываемся от условия унитарности и позволяем этим представлениям действовать в более широких пространствах, в частности, в некоторых пространствах обобщенных функций.
Канонические представления порождают граничные представления - двух типов: представления одного типа действуют в обобщенных функциях, сосредоточенных на границе, представления второго типа действуют в струях, трансверсальных к границе (в коэффициентах Тейлора относительно границы).
Один из источников для получения канонических представлений на_однородном пространстве (?/Я состоит в следующем. Мы берем некоторую группу С ("надгруп-пу"), содержащую б, берем некоторую серию представлений Яд, А 6 С, индуцированных характерами (одномерными представлениями) некоторой параболической подгруппы Р группы в, связанной некоторым образом с исходным пространством С/Я, и затем ограничиваем эти представления на й, кроме того, ограничиваем функции на б/Р из пространств представлений Яд, на орбиту (или ее замыкание) группы С. Полученные представления и есть то, что мы называем каноническими. Вообще говоря, представления Яд могут еще зависеть от некоторого дискретного параметра.
2. В настоящей работе мы исследуем канонические представления и порожденные ими граничные представления на пространстве Лобачевского произвольной размерности. Мы используем аналог модели Клейна: пространство Лобачевского размерности п — 1 есть открытый единичный шар В в прстранстве М"_ , группа движений есть псевдоортогональная группа С = ЭОо(п — 1,1) лоренцовой сигнатуры, она действует на В дробно-линейно. Стационарная подгруппа начала координат есть максимальная компактная подгруппа К = 30(п — 1), так что В = С/К.
Диссертация состоит из двух глав.
Главная часть диссертации - это глава II. Здесь мы определяем канонические представления Яд, А 6 С, группы С как ограничения на С максимально вырожденных серий представлений группы С = ЭЦга, М.). Последние представления были исследованы в работе [24]. В выборе надгруппы С мы следуем подходу работы [23]. [Возможен другой подход: в качестве надгруппы б можно взять псевдоортогональную группу 80о(п, 1), этот вариант мы оставляем в стороне.] Пространство, в котором действуют наши Яд, есть пространство Х>(В), состоящее из бесконечно дифференцируемых функций на замыкании В шара В. Эти представления можно распространить на пространство Т>'(В)

обобщенных функций на К”-1 с носителями в В.
В начальных параграфах главы II мы строим гармонический анализ на пространстве Лобачевского В. С одной стороны, этот материал в основном хорошо известен, и результаты являются классическими, см., например, [5], так что мы даем его ради полноты. С другой стороны, как нам кажется, мы внесли некоторые усовершенствования в это изложение, см., например, использование преобразования Пуассона и вид формулы обращения в § 19.
Здесь же мы даем разложение формы Березина (см. §20). Некоторые пересечения с работой [23] оказываются неизбежными. Формула, которая дает "собственные числа" Л(А, а) формы Березина в виде
Г Г /2-гг—(7—А
а / —Л _ 1 2 )*- 2 )
Л(А’СТ)- гН)г(^) ’
см. (20.10), является аналогом формулы Березина [4] для эрмитовых симметрических пространств ранга 1.
Из этой формулы получается асимптотическое поведение преобразования Березина при А —► —оо. Более того, мы можем написать полное разложение преобразования Березина. Для того чтобы получилась прозрачная явная формула, надо разлагать не по степеням 1/А, а использовать обобщенные степени переменной (—А — п)/2. Идея такого разложения была предложена в [29].
Далее, мы определяем операторы Рд.ег и Рд^, сплетающие канонические представления Дд и представления Т„ группы б?, связанные с конусом (более точно Г2_для
Рр и Та для Рд,<т). Мы называем эти операторы преобразованиями Пуассона и Фурье, связанными с каноническими представлениями.
Мы подробно исследуем мероморфную структуру по а преобразований Рд)<т и Рді(Т. Эта информация является решающей для разложения граничных представлений Рд и Мд (см. § 23 и § 26). В частности, полюсам второго порядка отвечают жордановы клетки в разложении граничных представлений.
Пуканский [30] был первым, кто обнаружил появление унитарного представления дополнительной серии в качестве дискретного слагаемого в разложении тензорных произведений унитарных представлений группы БЬ(2, К). Эти произведения во многом аналогичны каноническим представлениям. Аналогичный факт был установлен Вершиком-Гельфандом-Граевым [6] для унитарных канонических представлений на плоскости Лобачевского - единичного круга И : гг < 1. Представление дополнительной серии, появляющееся для некоторых значений параметра, было реализовано в дельтафункциях (р(з)5(р) на границе 5 круга В, здесь г = гз, 0 $ г < 1, |в| = 1, р = 1 — г2, 6(р) - дельта-функция Дирака. В работе ван Дейка-Хилле [23] о канонических представлениях на гиперболических пространствах в разложении появилось конечное число представлений дополнительной серии, однако, в этой работе не было реализации их в виде пространств обобщенных функций сосредоточенных на границе. В нашей работе [25] мы впервые указали инвариантные подпространства обобщенных функций, сосредоточенных на границе, - для плоскости Лобачевского (были даны явные формулы для таких функций). Для параметра общего положения получается диагонализация (разложение в прямую сумму) граничных представлений.
Наконец, в § 28 мы даем разложение канонических представлений Да- Для простоты мы ограничились параметром А из полос Д : =п^+2к < Де А < 2=а +2к, к Є Ъ. Оказы-

а функционал К есть скалярное произведение компонент Фурье:
К (Ф„|/, К) = (Я2^Д, ^/г)3. (17.10)
В самом деле, по (17.8), (17.7), (16.2), (14.4) и (15.6) получаем:
(Ф„*/) («) = (5
= (б,ад^/Ь
= (т^^Лр-1)^
= (Р2_„_,^/) («),
а формула (17.10) получается из (17.9) с помощью (16.4).
В частности, если а = ^ + гр (непрерывная серия), то 2 — гг — сг = схипо (17.6) получаем
(Ф„|/, h) = 2 — гг ~2~
Приведем некоторые оценки для сферических функций отвечающих представлениям непрерывной серии.
Теорема 17.1. Пусть а = ^ + гр, ре К. Для всякого компактного множества
К в шаре В существует число С > 0 такое, что для всякой функции / Є В (В) с
носителем в К и всякого т € N выполняется неравенство
|(Ф<п /)| < С • шах |(Дт/)(и)| • |р2 + (~у~)2| ■ (17.11)
Доказательство. Пусть Я £ (0,1) - такое число, что компакт К содержится в шаре В я радиуса Я с центром в нуле. Пусть р = тах |/(г»)|. Тогда для преобразования Фурье

Яа справедлива оценка
| (*■,/) (а)| < Сф,

Ci = J (1 - (w,s»Reffrfu.

Хотя в правой части стоит s, на самом деле эта правая часть не зависит от s, можно взять s = s° = (1,0 0), интеграл сходится при любых Re гг, так что С есть некоторое число (зависящее от Reer, Я,п).
По (17.7) имеем
|(Ф<т,/)| $ Cß, (17.12)
где С = Теперь применим оценку (17.12) к функции Дт/ и используем самосопряженность оператора Д и формулу (17.1). Мы получим (17.11). □