Принципы мажорации и конформные отображения в неравенствах для полиномов и рациональных функций

• Автор: Калмыков, Сергей Иванович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Владивосток
• Количество страниц: 90 с.

Оглавление
Введение

Глава 1. Принципы мажорации и конформные отображения

§1.1. Теорема покрытия для мероморфных функций

§1.2. Ограниченные аналитические функции

Глава 2. Экстремальные свойства полиномов Чебышева

§2.1. Точные оценки коэффициентов

§2.2. Теоремы покрытия

§2.3. Неравенства бернштейновского типа

§2.4. Аналог неравенства Шура

Глава 3. Неравенства для полиномов и рациональных функций на нескольких отрезках
§3.1. Теоремы покрытия для аналитических функций, связанных с полиномами, имеющими криволинейные мажоранты на двух отрезках
§3.2 Оценки коэффициентов и неравенства бернштейновского типа для полиномов, имеющих
криволинейные мажоранты на двух отрезках
§3.3 Неравенства для рациональных и
рационально-тригонометрических функций
Список литературы

Введение
В настоящей работе развиваются новые подходы к получению неравенств для полиномов п рациональных функций, основанью на теории потенциала и геометрической теории функций комплексного переменного.
В 1889 году, отвечая на вопрос поставленный химиком Д. И. Менделеевым, A.A. Марков [36], [37] доказал, что если Pn(z) - алгебраический полином степени п, то
max Р'(х) < п2 max Рп(х).
Равенство в этом неравенстве достигается для полинома Чебышева Тп(х) = cosп arccos х, х € [—1,1].
В 1912 году С. Н. Бернштейном [3] было получено неравенство для производной от тригонометрического полинома рп(х) ?г-го порядка:
max |р'(х) < п max |р„(х)|.
-7Г<.Т<7г' -7Г<Ж<7Г ' 4 П
Данное неравенство является основой доказательств обратных теорем С. Н. Бернштейна в теории аппроксимации, то есть играет существенную роль в решении вопросов, касающихся связи между дифференциальными свойствами функции /(х) и быстротой, с которой стремится к нулю ее наилучшее приближение En{f) при помощи тригонометрических полиномов порядка п.
С.А. Теляковский, говоря о роли неравенств Маркова и Бернштейна, отмечает, что " применение неравенств такого рода - основной метод доказательства обратных теорем в теории аппроксимации. Зачастую дальнейшее развитие обратных теорем зависило от предварительного получения соответствующих обобщений или аналогов неравенств Маркова и Бернштейна" [80].

Изучению экстремальных задач для полиномов и рациональных функций посвящена обширная литература (см. статьи и монографии [34], [52], [49] [63], [65], [80], [113], [114], [116], [115], а также ссылки в них).
Неравенства А. А. Маркова и С. Н. Бернштейна неоднократно передо-казывались и обобщались в разных направлениях. Эти обобщения касались различных классов алгебраических, тригонометрических полиномов, алгебраических дробей и рационально-тригонометрических функций.
В последнее время особый интерес вызывают неравенства бернштей-новского типа для алгебраических и тригонометрических полиномов и рациональных функций на нескольких отрезках (см. [33] - [35], [67], [118] и библиографию в них).
Значимый вклад в изучение экстремальных свойств полиномов, рациональных функций и их обобщений внесли Н. И. Ахиезер [1], [2], С. Н. Бернштейн [3] - [5], [60], [61], Р. Боас [63], В. С. Виденский [6] - [8], Т. Г. Генчев [9],
B. К. Дзядык [12], A.A. Марков [36], [37], В.А. Марков [38], Д. Ньюман [100], Р. Пирре [106], [107], К. И. Рахман [110] - [113], Т. Дж. Рпвлин [54], В. Н. Русак [46], [47], Г. Сеге [48], С. Б. Стечкин [50], П. Туран [119], И. Шур [117], П. Эрдеш [65] и другие математики. Актуальность исследований такого рода подтверждает большое количество работ выполненных в последнее время. Отметим работы А. Азиза [55] - [59], В.В. Арестова [65], П. Борвейиа [65], [66], А. К. Вармы [120], Н. К. Говила [73] - [S2], В. К. Джайна [83]-[86], А. Еременко [68], В. Н. Дубинина [14] - [16], М. А. Казн [109], Ксина Ли [93], А.Л. Лукашова [34] - [35], М. А. Малика [94], [95], Г. В. Миловановича [96], [97], Д. Мина [98], [99], К. Мохаммада, Р. Н. Мохапатры, А. В. Олесова [40] -[43], А. А. Пекарского [44], [45], Ф. Пехерстофера [101] - [104], Т. Разиза [114],
C. Рушевая [46], Р. Фройенда [72], К. Фраппайра [70], Т. Эрдейи [69].
Первая глава настоящей диссертации посвящена в основном новому

Сравнивая (2.8) и (2.9), получаем, что для любых точек на окружности |го| = 1 /г справедливо неравенство (2.9). Следовательно, точка 2 {и]к + ~т) Р (д (г°2 -Д?)) или> что то же самое, точка
у/(1 + Тк(г))/2Р(г) при г = (ю2 + , т.е. г - 1| + г + 1| = г2 + 1 /г2,
лежит внутри эллипса, указанного в теореме.
Рассмотрим случай
г > гА = 2А - 1 + 2/А(А — 1), А = 2п/сп.
Пусть ги - произвольная точка окружности |го| — 1/г, г > г, есть точка множества /(|Д < 1), тогда, согласно (1.10), имеют место неравенства
ЫХ < у 1/г < Уга
(1 + |И|)2- (1 + 1/г)2- (1 + 1/гл)2 4-
Следовательно, существует единственный корень Х>г уравнения (2.3), лежащий в [1/г, 1), и для этого корня имеем
|-Р2(ги)| < жщ-. (2-10)
Покажем теперь, что любая точка го, |ги| < 1/г принадлежит образу /(|г| < 1). Предположим противное, тогда
г < г* — т!{?' : г > 1, |р2(го)| < 1 Уго, |го| = 1/г}.
На окружности |го| = 1/г* найдется точка ги* , в которой
|ЯгК)| = 1. (2.11)
С другой стороны, для любой последовательности шк, шк < 1/г*, к

Далее из (2.10) следует, что
— уп+к