Метод подобных операторов в спектральном анализе операторов Дирака и дифференциальных операторов, определенных интегральными краевыми условиями

• Автор: Дербушев, Алексей Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 98 с.

Оглавление
Список обозначений
Введение
Метод подобных операторов в спектральном анализе одного класса дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условием
§1.1 О методе подобных операторов
§1.2 Исследование оператора дифференцирования с
нелокальным краевым условием
§1.3 Исследование дифференциального оператора с 1/2 -потенциалом, определенным нелокальным краевым
условием
§1.4 Исследование оператора дифференцирования Т> с

нелокальным краевым условием ах(0) = /З.т(1) + і а(,в)х(з)г1з

§1.5 Исследование дифференциального оператора с Ь% -потенциалом и определимым нелокальным краевым

условием аж(0) = (Зх(1) + а^х^сів

Метод подобных операторов в спектральном анализе несамосопряженных операторов Дирака
§2.1 Нееамосопряженный оператор Дирака

Построение допустимой тройки для абстрактных
операторов, близких к оператору Дирака
Асимптотика собственных значений оператора Дирака и
сходимость спектральных разложений
Формулы регуляризованного следа для
несамосопряженного оператора Дирака
Список обозначений.
N - множество натуральных чисел;
Z - множество целых чисел;
К. - множество вещественных чисел;
R+ = [0, оо];
С - множество комплексных чисел;
End X - банахова алгебра линейных ограниченных операторов (эндоморфизмов), действующих в Х
©і(І2,іг) - идеал ядерных операторов
©2 (И) - идеал операторов Гильберта-Шмидта из алгебры End, X; аг {Л) - спектр оператора А;
R(-,A) : д(А) —» EndX, R(,A) = (XI — А)-1, А Є д(А), - резольвента линейного оператора А : D(A) С X —» X;
ad,X - трансформатор, линейный оператор в пространстве линейных операторов: ас?д : С EndX —» EndX, = АХ — ХА,X Є
EndX ;
177iА - образ оператора А;
КегА - ядро оператора А;
Я - банахово пространство возмущений, которому принадлежит оператор В с нормой || • ||*;
X - комплексное банахово пространство ;
Ті - комплексное гильбертово пространство;
£л(Х) - банахово пространство операторов, подчиненных А с нормой
II • IU;
В (Ті) - алгебра, совпадающая с одной из алгебр End X ,&о(Ті) ;
А* - сопряженный к А линейный оператор;
1/2[а, Ь]~ гильбертово пространство функций, интегрируемых с квадратом на отрезке [а, Ь]

где Рт = ЕТ=-т РУ
Оценим нормы трансформаторов Гт, то Є N

ртх\1 < Е \PiXPjf + УЗ ||Р^Р5.||2<||Х|||,А-ев2(Ь2),
іц=—пг У>то+
||Г,„Х|12 < (фї Е ||Л,ХР„||2 < ^ЦХЩ.Х є 62(і2).
п^=т-,т,пёЕ
Таким образом,||ф„|І2 < 1,||Гт||2 < (27г)-1. В следующей теореме, вытекающей из [[5],теорема 27.1], используется компактность операторов из 62(^2))-
Теорема 1.3. Существует число га Є N такое , что оператор А* = А — В подобен оператору вида А — JrlгХо, где Хо - некоторый оператор из ©2(1/2) и преобразование оператора А —В в А — ЗтХо осуществляет оператор вида I + 11т , где 11т - некоторый оператор из ©2(Х2)-
Вначале, используя лемму 1.7 , преобразуем оператор А~В в оператор А — В , где В Є ©2(7*0(1/2) оператором преобразования II = I + Й, где Й Є 0*2(£2) и |)Г7112 < Для оператора А — В выполнено условие 3 из теоремы 27.1 работы [5] (рассматривается построенная допустимая тройка (<72(1/2),/т, Гт)) и ,следовательно, существует такое то Є М, что оператор А — В подобен оператору вида
А дтА§
где Хо - некоторый оператор из ©2(Т2) , а преобразование подобия осуществляет оператор I + ГтХ0, где ГІПХ0 Є сг2(І/2), ||ГтХо||2 < . Следовательно, оператор А — В подобен оператору А — ,1тХ{) , а их подобие осуществляет оператор I + ит = (/ + ГтХо)(/ 4- Й) = I + Й + ГтХо + (ГтХ0)и, т.е. 1]т Є сг2(Ь2) и ЦС/^Ц2 < 2 1 1 5 < 1 теорема
доказана.