Свойства конформного радиуса и теоремы единственности для внешних обратных краевых задач

• Автор: Ахметова, Альбина Наилевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 105 с.

Глава 1. О геометрических свойствах конформного радиуса и его градиента

§ 1.1. Дифференциальные свойства поверхности конформного радиуса

1.1.1. Случай выпуклых областей

1.1.2. Случай областей с конечными выпуклыми дополнениями

§ 1.2. Квазиконформные отображения, определяемые градиентом конформного

радиуса

1.2.1. Исключительные случаи квазиконформности градиента конформного радиуса

1.2.2. Особенности строения образа градиента конформного радиуса

Глава 2. О единственности решения внешних обратных краевых задач

§ 2.1. Радиус Гахова и теоремы единственности для решения внешних обратных краевых задач

2.1.1. Единственность решения внешней задачи в классе функций М.Т. Нужина

2.1.2. Единственность решения внешней задачи в классе дуг Н.Е. Жуковского 70 § 2.2. Теоремы существования и единственности для интегралов Кристоффеля-Шварца и их аналогов в двусвязпом случае
Глава 3. Конформный и внутренний радиусы для двусвязных областей
§ 3.1. Конформный радиус, определяемый поверхностью наложения для двусвязной области
§ 3.2. Исследование внутреннего радиуса для двусвязной области
Литература

Диссертация посвящена исследованию свойств конформного радиуса, его градиента и их приложениям в теории внешних обратных краевых задач для аналитических функций [21], [25], [52], [51], [6].
Одно из направлений изучения конформного радиуса определяется его связью с различными характеристиками плоской области (трансфинитным диаметром, площадью области, длиной её границы и др.), широким применением в математической физике и вовлечением всех этих понятий в изопериметрические неравенства. Изучением конформного радиуса занимались ещё Д. Полна и Г. Сегё [44], и интерес к получению различных оценок упомянутых величин подтверждается появлением новых достижений в этой области [61], [33], [37], [1].
Г. Хиги [66] получена формула для вычисления конформного радиуса односвязной области D в точке z в виде
R(D,z) = |/'(С)[(1 - |С|2), (0.1)
где 2 = /(С) — функция, реализующая конформное отображение единичного круга |С| <1}на область D — f(E). При этом
выражение (0.1) интерпретируется как график функции R(D,z), представляющий собой поверхность Q в R3 над кругом Е или областью D. Назовем эти области основаниями поверхности конформного радиуса.
Д. Минда, С.-А. Ким и Д. Райт [65], [64] доказали, что необходимым и достаточным условием выпуклости (вверх) поверхности конформного радиуса над конечной областью D является выпуклость D. JI.B. Ковалёв [63] установил, что критерием выпуклости (вниз) поверхности конформного радиуса над бесконечной областью D~, оо G D~, является

выпуклость граничной кривой дВ~, Выпуклость области В остается необходимым условием выпуклости поверхности конформного радиуса, построенной над основанием Е, но не достаточным.
В настоящей работе выделены классы областей, для которых поверхность конформного радиуса теряет свойство выпуклости при построении над кругом Е для конечной области В или над внешностью круга Е для бесконечной области В~ (оо £ В~).
В неравенствах математической физики [55], [43], [23], [22], [39], [40],
[2] участвует величина
2 = х + гу € В, которую будем называть комплексным градиентом (для краткости градиентом) конформного радиуса. Инициатива в. изучении (0.2) как самостоятельного объекта принадлежит Ф.Г. Авхадиеву и К.-Й. Виртсу [60]. На основании поведения якобиана градиента конформного радиуса ими доказана диффеоморфность градиента и выяснено строение множества его значений в зависимости от вида области
В данной диссертации получены результаты, характеризующие градиент конформного радиуса в терминах квазиконформных отображений [Ц], и выделены не отмеченные в [60] эффекты для VЯ,(ф(гЕ), ф(г£)), 0 < г < 1, при переходе из Е в гЕ.
Интерес специалистов по геометрической теории функций к конформному радиусу вызван также его связями с различными экстремальными и граничными задачами, в частности, с внешней обратной краевой задачей (окз).
Внешняя окз по параметру з ([21], [52]) состоит в односвязном случае в отыскании области О, с С с границей Ьг и регулярной в В;, функции
При а = 0 парабола «охлопывается» в разрез по отрицательной вещественной оси. Образом градиента конформного радиуса для внешности этого разреза будет кривая д(а), поскольку
lim VR(irj) = 2 lim е*arctg» = ±2 г.
~ ^ а—у О
Если «раздвинем» этот разрез до по-луполосы, то в качестве образа градиента конформного радиуса будем иметь область, приведенную на рис. 4, случай б).
а—>0
1.2.2. Особенности строения образа градиента конформного радиуса
Приведем два способа для получения уравнения предельной линии, которая получается как образ угловой точки многоугольника при отображении под действием функции (9), когда 2 приближается к угловой точке по разным направлениям.
1. Обозначим Da — Da(оо) = {z : | arg| < mr/2}, 0 < a < 2. При 0 < a < 1 под Da( 1) понимаем внутренность выпуклого многоугольника, которая составляет часть Da{оо), причём
DJp) = pDn (1),