Аналитические и гармонические всплески в многосвязных областях

• Автор: Дубосарский, Глеб Александрович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 141 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава 1. Аналитические всплески в пространствах типа Харди
1.1. Пространства типа Харди аналитических функций
1.2. Построение аналитических всплесков
1.3. Вспомогательные результаты
1.4. Теорема о базисе всплесков в пространствах типа Харди
1.5. Оценка скорости сходимости ряда всплесков
Глава 2. Гармонические всплески в пространствах типа Харди
2.1. Пространства типа Харди гармонических функций
2.2. Две вспомогательные гармонические системы
2.3. Вспомогательные результаты
2.4. Асимптотика функций из вспомогательных систем
2.5. Сходимость рядов по вспомогательным системам
2.6. Гармонические всплески
Заключение
Обозначения диссертации
Литература
Список публикаций по теме диссертации

Введение
Актуальность темы исследования. Данная диссертация посвящена построению базисов аналитических и гармонических всплесков и их приложению к решению задачи Дирихле в многосвязных областях. Мы коснемся следующих аспектов данной проблематики: теории всплесков, истории построения базисов в пространствах аналитических и гармонических функций и результатов, относящихся к нахождению решения задачи Дирихле. Поскольку в диссертации используется метод ортогонализации, во введение включена история развития проблематики ортогонализации аналитических и гармонических многочленов на одном и нескольких контурах комплексной плоскости.
В 80-х годах в работах С. Малла [32] и И. Мейера [34], [35] был предложен общий метод построения ортогональных систем вейвлетов в пространстве АДК). Термин «wavelet» является английским аналогом французского «ondellete». В русскоязычной литературе устоялся предложенный К. И. Осколковым термин «всплеск». Всплеск-анализ сформировался благодаря работам И. Добсши, А. Коена, П. Ж. Лсмарье, В. М. Лоутона, С. Малла, И. Мейера и др. В России данной тематикой занимаются В. Г. Захаров, С. Ф. Лукомский, Т. П. Лукошенко, В. Н. Малоземов, И. Я. Новиков, А. П. Петухов, В. Ю. Протасов, М. А. Скопина, Ю. Н. Субботин, Ю. А. Фарков, Н. И. Черных и др. Всплескам посвящены множество монографий. В том числе монографии И. До-беши [12], С. Малла [17], И. Мейера [34], И. Я. Новикова, М. А. Скопиной, В. Ю. Протасова [19], А. П. Петухова [21], К. Чуй [28].
Классическая система ортогональных всплесков на вещественной оси строится в два этапа. Вначале находится функция уфж), по которой определяются ее кратномасштабные сжатия и сдвиги УфДж) — 2^2^{2?х — к). Функция ip(x) подбирается так, чтобы система {^j,k(x) : j, к £ Z} являлась ортонорми-рованной относительно скалярного произведения (/,д)ь2(т.) = J^f(x)s(x)^x-Система функций {
пространства ^(Ж):
V} = ЬпД^Дж) : /с 6 й}, у 6 2.
Полагается, что пространства образуют кратномасштабный анализ про-
странства Ьг(Ж)) если они удовлетворяют условиям
1 )цсц+1лег (0.1)
2) и ^ = £2(К), (0.2)

3) П^- = ^>- м

Функцию (р(х), порождающую кратномасштабный анализ, называют масштабирующей.
По масштабирующей функции (р(х) подбирается функция ф(х) и по ней определяются функции ф],к{х) = 2^2ф(2Ь; — к). Функция ф{х) подбирается так, чтобы пространства
— ЬпДт/фДж) :к еЩл ЕЪ
были ортогональны пространствам V) и выполнялось равенство
1 = I- + (0.4)
Система функций {‘фj,k(x) : к Е Е Щ называется всплесками.
Используя классические всплески на вещественной оси, И. Мейер в [34] построил периодические всплески на отрезке [0,1]. Для этого по функциям Щ,к(х) и ?фд(.т) были определены их 1-периодизации по формулам
®зАх) = 53 ФзАх ~ ")> (°-5)

^зЛх) = 53 ^зАх -и)- (°-6)

Последнее равенство выполняется в силу того, что Vj С Vj+i. Следовательно, V?1 С V&.
Таким образом, если мы применяем к ортонормированной системе функций {шп : п > 0} первое преобразование, то получаем также ортонормирован-ную систему : п > 0}. Пространства V)M и И-(р, описанные выше, обладают свойствами, характерными для кратномасштабного анализа и пространств всплесков.
Применим первое и второе преобразование к ортонормированной системе функций {1 ,z11 : п G N} и при каждом I = 1 ,т к системе функций {о, ,n G n| и получим системы
{An(z) : п > 0}, {о,Ап■ п> 11, I = 1,т, (1.16)
{Un(z):n> 1}, |o,C/n(-^-)n:n>l}, I = 1^, (1.17)
где функции An(z) и Un(z) введены в (1.7) и (1.9). Введем пространства W£t и Vjj, I = 0, т, j > 0 следующим образом:
= Lin{Un(z) : п = 2j~1 + к, 0 < к < 2^}, j G N,
Vjj = Un{un(j^) : п = 2j~1 + к, 0 < к < j € N, 1 = I~jn,
W£0 = Lin{A,(z) : n = 2J_1 + к, 0 < к < 2Г1}, j G N,
= Lin{^n(-^—) : n m 2L-1 + к, 0 < к < 2j~1}J j G N, / = T~m.
По пространствам и VVj, I = 0, m определяются пространства и WA no правилу

rA rj,t

и7 = ®Щ1 1=
Рассмотрим следующее утверждение о разложении гармонической функции. Его справедливость будет установлена в лемме 1.5.