Свойства классов подпространств унитарного пространства, присоединенного к алгебре фон Неймана

• Автор: Турилова, Екатерина Александровна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 87 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. КЛАССЫ ПОДПРОСТРАНСТВ УНИТАРНОГО ПРОСТРАНСТВА, ПРИСОЕДИНЕННОГО

К АЛГЕБРЕ ФОН НЕЙМАНА

§1. Предварительные сведения

Алгебры фон Неймана: определения и элементарные

свойства

Классы подпространств унитарного пространства,

присоединенного к алгебре фон Неймана

Ортомодулярные свойства классов подпространств 26 Примеры линеалов, присоединенных к алгебре фон
Неймана
§2. Описание классов подпространств с помощью
ортопроекторов в пополнении
Общие сведения
Описание класса подпространств
Описание класса ортозамкнутых подпространств . 31 Описание класса расщепляющих подпространств . 32 Случай алгебры фон Неймана
с бициклическим вектором
§3. Совпадение классов подпространств, присоединенных
к алгебре фон Неймана
Глава 2. КЛАССЫ ПОДПРОСТРАНСТВ В ПРОСТРАНСТВЕ
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
§4. Классы подпространств в случае алгебры
с бициклическим вектором
§5. Алгебра В(Н) в пространстве представления,
ассоциированного с точным нормальным состоянием 43 §6. Пространство представления алгебры фон Неймана,
ассоциированного с весом: общая конструкция
§7. Алгебра В(Н) в пространстве представления,
ассоциированного с точным нормальным полуконечным
весом
§8. Случай полуконечного веса с ограниченной производной
Радона-Никодима
Глава 3. МЕРЫ НА КЛАССАХ ПОДПРОСТРАНСТВ
§9. Мерьпосновные понятия и определения
§10. Задание меры на /См(В) по мере на М*"
§11.0 поднятии меры с /См(В) до меры на МУ
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
В работе вводятся и изучаются классы ортозамкнутых и расщепляющих подпространств унитарного пространства, присоединенного к алгебре фон Неймана.
Алгебраические, топологические и порядковые свойства подпро-
* странств унитарного пространства (не обязательно полного) уже достаточно давно являются предметом детального изучения. Дж. фон Нейман в работе 1932 года [52] при математическом обосновании квантовой механики использовал аппарат подпространств (замкнутых линеалов) гильбертова пространства. Поскольку вместе с каждым унитарным пространством можно рассматривать и гильбертово пространство, являющееся пополнением этого унитарного, представ-
^ ляет интерес изучение замкнутых подпространств унитарного про-
странства.
Также в 30-х годах прошлого столетия появились классические ныне работы Дж. фон Неймана и Ф. Мюррея [49] - [51], [53], положившие начало теории операторных алгебр. Эта теория, в особенности ее часть, связанная с алгебрами фон Неймана, была достаточно хорошо разработана во второй половине двадцатого столетия.
В данной работе объединяются указанные направления исследо-
* ваний, основоположником которых являлся Дж. фон Нейман. Работа посвящена изучению подпространств унитарного пространства в контексте теории алгебр фон Неймана.
Обратимся к основным объектам исследования.

= Ь{ру'„к + {1~ Р)*п/о) = Ит X/о = Р(.РУ'п + (! ~ РУпМо = Р2/п/о
(/ - рХ/о = (/ - р)0Х + (■/■- рХ)/о = (/ - рХ/о е ■?.
Необходимость доказана.
Достаточность: Каждый элемент / Е Н можно представить в
следующем виде: / = 1ша'я/о, причем рж'„/о € 5, (I — рХп/о € 5 Уп. Тогда р/ = Нтра^/о, где рж'„/0 € 7г(р) П*? Уп, а (/ - р)/ =
Нп1(/ — р)х'п/о, где (I — р)ж'п/о 6 7£(/ — р)П5 Уп. Это означает, что
[72.(р) Г)5] = 7^(р), [71(/ — р) П 5] = 71{1 — р), то есть X — ортозамк-нуто (теорема 2.2).
§ 3. СОВПАДЕНИЕ КЛАССОВ ПОДПРОСТРАНСТВ,
ПРИСОЕДИНЕННЫХ К АЛГЕБРЕ ФОН НЕЙМАНА
ПРИМЕР 3.1. Пусть Н = £2(0,1] — комплексное гильбертово пространство функций, интегрируемых с квадратом по линейной мере Лебега на [0,1]. Доо[0,1] — банахово пространство всех измеримых ограниченных в существенном функций. Определим в Н оператор х умножения на функцию х £ Тоо[0,1] следующим образом: (ж/)(£) = ж(£)/(£), £ £ [0,1], / £ Н. В этом случае ж — ограниченный линейный оператор. Известно, что
Ьоо[0,1] = (аг|ж(-) € 1X0,1]}-
коммутативная алгебра фон Неймана. Пусть /о - функция, тождест-
венно равная единице на [0,1]. Определим 5 = Доо[0,1] • /о = Х[0,1]