Формулы обращения преобразования Киприянова-Радона и аналоги теоремы типа Планшереля и теоремы о носителе

• Автор: Гоц, Екатерина Григорьевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 107 с. : ил.

Ведение

1 Общие В-гиперсингулярные интегралы

1.1 Обобщенные сдвиги. Конечные разности

1.2 Общие В-гиперсингулярные интегралы

1.3 Аннигиляция

2 Аналог теоремы Планшереля для преобразования Киприянова-Радона

2.1 Весовые сферические интегралы

2.2 Преобразование Киприянова-Радона

2.2.1 Свойства преобразования Киприянова-Радона

2.2.2 О весовых ^-функциях, сосредоточенных на плоскости, и вычислении преобразования Киприянова-Радона некоторых функций
2.2.3 Связь преобразования Киприянова-Радона с преобразованиями Фурье и Фурье-Бесселя
2.2.4 Преобразование Киприянова-Радона смешанного обобщенного сдвига и обобщенной свертки
2.2.5 Сдвиг в пространстве Е^+п
< 2.2.6 В-дифференцирование
2.3 Аналог теоремы Планшереля
2.3.1 Обращение преобразования Киприянова-Радона

2.3.2 Аналог теоремы Планшереля
2.4 Обращение преобразования Киприянова-Радона посредством одномерного дробного дифференцирования
3 Теорема о носителе
3.1 Преобразование Киприянова-Радона
некоторых основных функций
3.2 Теорема о носителе
Литература

Хорошо известно, насколько мощным является преобразование Радона в различных задачах естествознания, особенно в вычислительной томографии, возникшей из задач рентгеновских и электромагнитных диагностик. Первые попытки исследования этого преобразования были предприняты Поганом Радоном еще в 1917 году [1]. А вот первое описание введенного И. Радоном преобразования появилось только в 1955 году в книге F. John [2j. По-видимому, достаточно давно возник вопрос о возможности применения преобразование Радона к радиальным функциям (радиальные функции можно считать заданными в одномерном пространстве, а преобразование Радона возможно лишь для функций заданных в пространстве размерности п > 2).
В 1969 году при исследовании фундаментальных решений В-эллип-тических уравнений И.А. Киприянов и В.И. Кононенко [3] предложили использовать некое специальное преобразование Радона, приспособленное для работы с осесимметрическими функциями, то есть в ситуации, когда часть переменных (но не все) может быть заменена одной — радиусом. При этом, в соответствующих интегральных выражениях появляются степенные веса (разумеется с целым показателем степени) и обобщенные сдвиги. Удивительным было то, что показатели веса могли быть произвольными положительными числами, а описание этого преобразования и, главное, формулы обращения можно было написать лишь в частном случае, когда соответствующий весовой показатель принимает только натуральные значения. Дальнейшие

Дифференцирование по р приводит это выражение к виду
dMQp— = 4уг2 J /(г> yPl&ip ~ r|£'| - xfa)rdrdx3. (2.2.6)

Полученную формулу (2.2.6) назовем "производной массы полупространства с осесиммстрической плотностью" и сравним ее с формулой "производной массы полупространства", приведенную в [33], стр. 17:
= J f(x)5(p - (x,0)dx = R[M;p). (2.2.6')

В формулах (2.2.6) и (2.2.60 левые части совпадают и представляют собой производную по параметру р от массы полупространства, отсекаемого плоскостью р — (х, £). Сравнение правых частей формул (2.2.6) и (2.2.60 позволяет установить, что следует считать преобразованием Радона в осесимметрическом случае. А именно, так же как и в (2.2.60 положим
Ki 1Ш>Р) = J f(r,x3)6i(p - r|£'| - xzi^drdxz, 7=1, (2.2.7)
где под ф- функцией, сосредоточенной на поверхности плоскости р = г|£'| + £з£з понимается следующая конструкция

$j(p-r?-x&) = C('y) J 5 (p-rgcos a-x^^sm1'1 ada, 7 = 1.

При этом, преобразование Радона R[f] в (2.2.60 и KR-преобразованис K.if] в осесимметрическом случае (2.2.7) связаны равенством
Шр)>
Рассмотрим общую ситуацию, когда плотность f(x) определена в евклидовом пространстве Ajv, причем первые п переменных (п < N) сферически симметричны: f(x) = f(x’,x"), х' — (xi xn), х"