О топологии наборов гиперплоскостей и многомерных вычетах

• Автор: Московченко, Галина Александровна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Курган
• Количество страниц: 67 с.

• Содержание
Введение
Глава 1. Перечислительная комбинаторика конфигурации
гиперплоскостей в К"
§1. Число частей дополнения К" Е к нормальному семейству
гиперплоскостей Е
§2, О числе к-мерных граней конфигурации гиперплоскостей в

§3. Вычисление функции /п(Е) на языке флагов конфигурации

§4. Конфигурации с правильными кратными точками
§5. Индуктивный способ вычисления функции Мебиуса
Глава 2. Группа гомологий Н„(С" Е) и вычеты рациональных функций с полюсами на Е
§1. Ранг группы гомологий Нп(<СпЕ)
§2. Порождение группы Нп(Сп Е) разделяющими циклами
§3. О вычислении вычетов рациональных функций с гиперплос-
| кими полюсами
I Список литературы

Введение
Геометрия конечных наборов гиперплоскостей отличается многообразием связей с комбинаторикой [21], а также с теорией многомерных вычетов [1], [18], особенностей дифференцируемых отображений [5], и гинергео-метрических функций [8]. Перечислительная комбинаторика таких наборов имеет давнюю историю: еще в 1826 г. Якоб Штейнер (.7.Steiner) получил формулу для числа частей, на которые разбивается плоскость R2 (пространство R1) прямыми (плоскостями), находящимися в общем положении, а в 1943 г. Р.Бак (R.Buck) распространил результат Штейнера на ситуацию конечного набора гиперплоскостей общего положения в М".
Адекватным аппаратом для решения указанных задач оказалось понятие функции Мебиуса на конечных частично упорядоченных множествах. Т.Заславский (Т.Zaslavsky) [28] дал общее решение задач о разбиении евклидова и проективного пространств, выразив числа компонент и граней разбиении через функцию Мебиуса, для которой имеется рекуррентный алгоритм вычисления. В это же время математики осознали, что число частей разбиения выражает ранг нульмерной группы гомологий Н0(Жп Е) дополнения набора Е гиперплоскостей вК", что важными комбинаторными характеристиками наборов гиперплоскостей в МГ1 и С" являются ранги групп гомологий Нk(Cn Е), 1 ^ к ^ п. Видимо впервые группа гомологий Нп(С Е) была изучена (был найден алгоритм вычисления ее ранга и описана база гомологий) в работе А.ГТ.Южакова [18] в связи с вычетами рациональных функций

многих переменных, а затем на основе другого подхода — П.Орликом и J1.Соломоном (P.Orlik, L.Solomon) [24]. Таким образом, классическая задача о числе разбиения пространства К'* гиперплоскостями расширилась до проблемы изучения структуры групп гомологий и когомологий для дополнения С" Е, связанной с многомерными вычетами [1], [18], с феноменом зеркальной симметрии в теории суперструн [26], с торической геометрией и теорией гипергеометрических функций [8]. В рамках теории многомерных вычетов при конструировании логарифмических вычетов (потоков интегрирования на аналитическом множестве) и исследовании вычетов Гротендика комбинаторика наборов алгебраических гиперповерхностей в С* появляется в связи с изучением n-циклов, разделяющих этот набор гиперповерхностей ( [17], [20]). Проблема описания разделяющих циклов оставалась неразрешенной даже для набора гиперплоскостей в С".
Цель диссертации продолжить исследование по перечислительной комбинаторике для конфигурации гиперплоскостей в изучить разделяющую подгруппу группы гомологий Нп(С" Е) и вычеты рациональных функций с гиперплоскими полюсами.
Перейдем к описанию содержания диссертации.
В первой главе речь идет о перечислительной комбинаторике конфигурации гиперплоскостей в Мп.
Пусть в пространстве М” задано семейство Е — {£),... ,Ет} различных гиперплоскостей
Ej {х — (*Ci,.. • , ) £1 - cij]X -{- • • * -|- (ijnxn — bj }, j — 1,... , m.
Обозначим через /„(£) = /п(£ь... ,£,„) — число частей, на которые пространство К” разбивается гиперплоскостями Е, т.е. число связных компонент (областей) множества Шп Е — К" {Е U • • • U Ет), соответственно, дп(Е) — число ограниченных, hn(E) — число неограниченных компонент этого разбиения.

Легко видеть, что
Е Е (-1)5(F) = °- Е Е (-1)£(F) = ЕЕ ^X)£(F) =
П F? ••• n F? *1 Fn_
'i 4 'i
Вычислим
ЕЕнГ = Енгт =
•i F ■■■ F[ -

= E(-1)£(F) + E +
F F2 ■■

Поскольку любое ребро семейства L(E) содержит 1-ребро, то флаги типа F};;; — это флаги Fj?;;;, F]..., F]?-1, соответствующие флагам F?;;;, F?;;;, ..., F"-1, и еще один флаг FJ. Для флагов типа
Fu3::.i ■■■ суммы будут равны:
Е (-ir(F) = EE(~1)e(F) =
F(? ч / - •••
112 ••• »
E(-i)‘(F) = EE(-1)‘(F) = B*>---*
f!4 - *i /•;' ■■■
lt2 »1 ■
так как e(F) = гг — к — o(F) изменится на четное число. Для флагов типа F]?;;;, F}?;;;, ... суммы будут равны:
E(-ir(F) = -EE(-1)£(F)
F{? ■ F? -
1*2 ••• -
E(-i r(f) = -EEH)£(F)
Fj? П F* ■

так как e(F) = n — к — o(F) изменится на нечетное число. Тогда
Е Е = (-1)71“2 + В2-В3 + В4-В5+--- + (-1 )П-1Вп-1.
*i F]