L2-метод в задаче о порождающих для весовых пространств без кольцевой структуры

• Автор: Шамраева, Виктория Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 108 с.

ГЛАВА I

МОДИФИКАЦИЯ ^-МЕТОДА НЛСОБА

§ 1.1. Постановка задачи и функциональный "ключ"для ее решения

§ 1.2. Формулировка основного результата главы для конечных систем

образующих

§ 1.3. Вспомогательные результаты

§ 1.4. Доказательство основного результата

§ 1.5. Некоторые следствия из основного результата

§ 1.6. Основной результат главы для счётных систем образующих

ГЛАВА II

ПРЕДЕЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ МОДИФИЦИРОВАННОГО

Ь2-МЕТОДА
ф § II. 1. Вспомогательные результаты
§ Н.2. Формулировка и доказательство предельного случая
модифицированного Л2-мстода
§ П.З. Некоторые следствия
§ Н.4. Условия на систему порождающих функций для весов, являющихся
верхними огибающими модулей голоморфных функций
ГЛАВА III
ПРИЛОЖЕНИЯ К КОНКРЕТНЫМ ПРОСТРАНСТВАМ
§ Ш.1. Системы образующих, порождающие ^ пространство [р,к)
§ Ш.2. Системы образующих с общими нулями
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Литература

Для пространства //оо всех аналитических и ограниченных в единичном круге функций задача о порождающих идеалах была поставлена и решена Л.Карлесоном [1] в начале 60-х годов. В последующем она исследовалась для различных колец аналитических функций многими известными математиками. В той части этой тематики, в которой рассматриваются пространства, определяемые системами плюрисубгармонических весов, применяются в основном три метода: 1) интерполяционный Л.Карлесопа (см. [2]); 2) Л.Хёрмапдера [3]-
[4], основанный на использовании его результатов о разрешимости 9-задачи с весовыми оценками и комплекса Кошуля, и 3) А2-метод А.Скода [5]. Следует отметить, что Л2-метод имеет определенные преимущества по сравнению с наиболее широко применяемым методом Л.Хёрмандера.
В последнее время в связи с некоторыми задачами теории уравнений свертки возникла необходимость в исследовании проблемы порождающих не только в кольцах, но и в пространствах, не имеющих кольцевой структуры. На пути её решения О.В.Епифановым [6]-[8] и А.В.Абаниным [9]) было развито обобщение метода Л.Хёрмандера.
В настоящей работе разработана модификация Л2-метода А.Скода
[5], применимая к пространствам, определяемым отличными друг от друга весами и не обязательно имеющим кольцевую структуру. В качестве приложений получены результаты о порождающих в пространствах целых функций нескольких переменных с заданной оценкой индикатора.
Задача о порождающих, которую мы будем изучать, заключается в следующем:
Пусть П — открытое множество в (Я ^ 1); Я(Г2) — наделенное стандартной топологией! равномерной сходимости на компактах пространство всех голоморфных в Г2 функций. Пусть, далее, Е и Е) (1 < у < р) — подмножества в Я(П); ~д = (ду : 1 < у < р) — фиксированный набор функций из Я(П), где р € N или р = оо. Необходимо решить вопрос о том, при каких условиях на ~д — (уу : 1 < у < р) справедливо равенство:

1 <]<р
Другими словами, когда V/ € Е31гу € (1 ^ у < р):
/О) = йз(г)Н](,г) (г <Е П).
1<У<Р
Функции ду условно называют образующими.
Задача о характеризации порождающих исследовалась Л.Карлесо-ном [1], Дж.Келлехсром и Б.А.Тейлором [2], [4], Л.Хёрмандером [3],
А.Скода [5], А.Ф.Леонтьевым [10], Ф.А.Шамояном [11], В.В.Напалковым [12], В.Хеппекемиером [13], А.В.Абаниным, И.С.Шабаршипой [14]-[18] и многими другими математиками. О.В.Епифанов был, по-видимому, первым, кто исследовал задачу о порождающих в пространствах целых функций одной комплексной переменной, когда Е не имеет структуры кольца ([7]) и когда /г,- могут лежать в разных весовых классах. В дальнейшем аналогичная задача была решена для функций многих переменных А.В.Абаниным (см. [9]). Ранее А.Скода ([5]) удалось упростить А2-технпку Л.Хёрмандера ([3]) при исследовании оператора представления в случае, когда искомые функции удовлетворяют одной и той же весовой оценке. Его метод обладает тем преимуществом, что он позволяет использовать решение только одной
§ 1.6. Основной результат главы для счётных систем
1. В предыдущих параграфах был рассмотрен случай конечных наборов ~д = (щ,... ,др) аналитических в Г2 функций. В качестве основной характеристики, с помощью которой решалась задача о разложениях вида (1.1.1) была выбрана функция
В настоящем параграфе мы аналогичным образом изучим случай когда образующих счётное число, то есть когда рассматриваются последовательности ~д — аналитических в Г2 функций. В данной
ситуации, чтобы определить характеристику типа (1.6.1) нам потребуется сходимость в 17 ряда X) ■ Мы, в силу некоторых

технических обстоятельств, потребуем несколько большего, а именно, чтобы этот ряд сходился равномерно на каждом компакте из О,. Положим
Все сформулированные ранее результаты были доказаны для случая конечного числа образующих. Покажем, что это предположение можно исключить.
Действительно, пусть (!]j)jeN ~~ последовательность аналитических функций, каждая из которых определена в окрестности П. Предпо-
ОС
ложим дополнительно, что ~д^ > 0 па Г2, т. е. ду(г)2е~^^ > О, _ 1=1 У г € П. От этого предположение легко можно освободится, действуя

также, как и ранее (см. §1.4 с.46). Поскольку ряд ]Г) gj(z)2e
образующих