Ряды экспоненциальных мономов

• Автор: Кривошеева, Олеся Александровна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 97 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Основные понятия и обозначения

Введение

Глава 1. Сходимость рядов экспоненциальных мономов

1.1. Пространство коэффициентов сходящихся рядов

1.2. Аналог теоремы Абеля для рядов экспоненциальных мономов

1.3. Аналог теоремы Коши-Адамара для рядов экспоненциальных мономов

Глава 2. Особые точки суммы ряда экспоненциальных мономов на границе

области сходимости.

2.1. Характеристики комплексной последовательности

2.2. Построение специальной функции

2.3. Особые точки
2.4. Случай нулевой плотности
2.5. О теореме А.Островского
Глава 3. Фундаментальный принцип для инвариантных подпространств
3.1. Замкнутость множества сумм рядов экспоненциальных мономов
3.2. Фундаментальный принцип
Литература

Основные понятия и обозначения
С - комплексная плоскость
B(z, г) - открытый круг с центром в точке z и радиуса г S (z, г) - окружность с центром в точке z и радиуса г § = 5(0,1)
£пШ - внутренность множества М с С
- опорная функция множества М с С (точнее говоря, комплексно сопряженного к М множества.
Л = [Ак, mk}k=1 - кратная последовательность, где Ак - комплексные числа, которые пронумерованы по неубыванию модулей, |Як| -»со при к -» со, и тк - натуральные числа.
Введем некоторые характеристики последовательности
где {()} - неубывающая по модулю последовательность, составленная из точек Ак. причем каждая Ак встречается в ней ровно тк раз.
Для точки IV € С и числа 5 > 0 положим
rkËB(iv,Æ|w|)
Очевидно, что .Мд > 0.
Пусть Г - угол с вершиной в начале координат. Введем величины
ЛкеГпВ(0
Нетрудно заметить, что верно равенство Ж {А, С) = Ж (А).

Положим
£(Л) = {д"ехр (Л**)}“.
Для точки £ е § и числа 8 е (ОД) через Г((, <5) обозначим угол с вершиной в начале координат, порожденный кругом б(<(, 5). Положим еще
— МА,6)
МаЛЛ = Ьт 1
0(Л) - множество всех частичных пределов последовательности [Лк/Лк}™=1 (исключая точку Хк — 0, если она есть). Очевидно, что 0(Л) - замкнутое подмножество окружности §.
Пусть Е - множество в С, 0 - замкнутое подмножество окружности §. 0 — выпуклой оболочкой Е называется множество
Я(0) = (г 6 С: Де(дО < НЕ(а $ е ©}
Отметим, что внутренность Е лежит в Я(0). В самом деле, если г - внутренняя точка Е, то из определения опорной функции следуют неравенства Ее(г() < Нв(£), У<( е 0. Это означает, что г Е Е(В). В частном случае, когда 0 = §, 0 - выпуклая оболочка множества совпадает с его обычной выпуклой оболочкой (точнее говоря, с внутренностью этой выпуклой оболочки).
Наряду с Я(0) для каждого £>0 определим еще множество Е(0, £) = {г £ С:йе(хО < НВЮ - 6 0}.
Отмстим, что в случае, когда 0 лежит в некотором угле с вершиной в нуле раствора не больше 7Г множество Е (0), а вместе с ним и Е (0, £) для достаточно малого £ > 0 является неограниченным.
г -4 00,771
Пусть а - |аЛ,п)к 0 - последовательность комплексных чисел. Через да (г) и В (Л, сЕ) обозначим соответственно сумму ряда
£0,771
к,п7-пчхр (Акг) к=1,п=о
и внутренность множества всех точек г £ С, в которых он сходится.
Символом (Л) будем обозначать множество всех последовательностей коэффициентов й — {к,п}/с1™=0 этого ряда, для которых множество Ъ (А, сГ) не пусто, а функция да (г) - аналитическая в В (Л, сГ).
Пусть с1 6 2С(Л). Будем говорить, что точка г £ 31)(А, с1) особая для функции с?сг(г), если она аналитически не продолжается ни в какую область, большую чем V (Л, с2) и содержащую точку г.
Переходя еще раз к подпоследовательности, можно считать, что кО')/к(л сходится к некоторой точке £ 6 0(Л). Тогда с учетом непрерывности, положительной однородности опорной функции компакта и определения величины К>0 получаем:
1ап |Аад) | (1п(1к(лпи) I + (Лс/)))
р+2

р+2 V

ПтЛки) 1пкОХпи) + ПгпАки) НКр+2(Лки)) <
- гпИвд).лО') I + #*р+2(0 -НА,О + Якр+2Ф < 0.
Последняя оценка здесь следует из того, что
нКр+2Ю < н„(п
(т. к. Кр+2 - компакт в области П) и
н0(.о < Ка,о
(в силу определения области О — 0(0., А) и опорной функции Нр). Таким образом, мы получили противоречие с (1.3.3). Следовательно, (1.3.2) верно. Поэтому согласно (1.3.1) имеем:
СО,ГП£-1 00,771
И*,п|Ипехр йеА*) < С' ткехр ( - ар+1Лк).
к=1,71-0 к=1#п
По условию (т(Л) = 0. Тогда в силу леммы 1.1.1 последний ряд сходится. Это означает, что ряд (0.1) сходится в точке и.
Пусть теперь г 6 СП. Если г = 0 и ряд 2 0кя сходится, то ряд (0.1) сходится
в точке г = 0.
Пусть г Ф 0. По определению области О найдется ( 6 0(Л) такое, чго
йе(и£) > КО-.О- (1.3.4)
Согласно определению величины КО, () найдем подпоследовательность {/с(/),7г(у)}
такую, что Л)с(7)/|Я/ф-)| сходится к точке £ и
ка,0 = 1.1т1-.(1.3.5) 10)1
Предположим, что ряд (0.1) все таки сходится в точке и. Тогда общий член ряда (0.1) ограничен на множестве Е = {и} и й, и по лемме 1.1.3 последовательность его