Решение экстремальных задач теории приближений в комплексной плоскости

• Автор: Тышкевич, Сергей Викторович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 104 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Тригонометрические полиномы, наименее уклоняющиеся от нуля на нескольких отрезках

1.1. Сведения из теории потенциала

1.2. Тригонометрические полиномы, наименее уклоняющиеся от нуля на нескольких отрезках, и комплексные Г-многочлены

1.3. Тригонометрические полиномы, наименее уклоняющиеся от нуля на двух отрезках

Глава 2. Экстремальные многочлены и рациональные функции на дугах окружности с нулями на этих дугах

2.1. Экстремальные полиномы на дугах окружности с нулями на этих дугах

2.2. Экстремальные рациональные функции на дугах окружности с нулями на этих дугах

Глава 3. Многочлены и квазиполиномы с фиксированными коэффициентами, наименее уклоняющиеся от нуля на заданных множествах
3.1. Многочлены с фиксированными старшим и свободным коэффициентами, наименее уклоняющиеся от нуля на дуге окружности
3.2. Квазиполиномы, наименее уклоняющиеся от нуля на окружности
3.3. Задача аппроксимации комплексными многочленами с интерполяционным условием на двух отрезках
Литература

Введение
Актуальность темы.
Работа посвящена проблемам приближения многочленами и их обобщениями на замкнутых подмножествах единичной окружности. Один из важнейших кругов вопросов теории приближений на замкнутых множествах объединяется названием “полиномы и рациональные дроби, наименее уклоняющиеся от нуля” и берёт начало с мемуара П. Л. Чебышева “Теория механизмов, известных под названием параллелограммов”, представленного в Академию Наук в 1853 году. Эта тематика занимала центральное место в теории приближении на начальном этапе её развития - этапе приближения индивидуальных функций посредством полиномов и рациональных дробей. Г1. Л. Че-бышёв нашёл точные решения ряда задач, но, поскольку число таких явных решений весьма невелико, в дальнейшем основное развитие теории приближений пошло по пути приближения классов функции различными методами, их сравнении между собой и т.д. (подробнее см., например, обзор [39]). Тем не менее, точные решения как классических, так и вновь возникающих задач, имеют, как правило, многочисленные приложения в различных областях. Назовём лишь некоторые из них: вычислительная математика, математическая физика, квантовая химия, электротехника, физика твёрдого тела, математическая статистика. Многочленам Чебышева посвящены .монографии [31, 73], в каждой книге по теории приближений обязательно есть разделы с изложением их основных свойств. Сведения о разнообразных применениях их обобщений (многочленов Золотарёва, Ахиезера и др.) содержат обзоры [38, 54, 55, 58, 59, 64, 66, 79]. Приведём более подробные сведения по поводу полиномов по чебышёвским системам, наименее уклоняющимся от нуля.

Рассматриваются “рациональные тригонометрические” функции вида гдг(^) =
A cos + В sin + fli cos (у — 1) + ... + Ьш sin ( y — [у])
= 7Ш 1 ’ (1)
N & N] Л, В £ М, А2 + В2 ^ 0, — фиксированные числа;
А(ф) — фиксированный действительный тригонометрический полином порядка а < N, положительный па заданной конечной системе отрезков
£ = [он, скг] U ... U [сыщр алф
«1 < «2 < ... < a>2i, 0 < 0-2/ - cvi < 27г;
их алгебраические аналоги
xN + cxxN~l + ... + cN ^
д/IR ’ ( }
где Л (ж) — (фиксированный действительный многочлен степени а < iV, положительный на Е С [—1,1].
П. JI. Чебышёв [47, 48] нашёл дроби вида (2), наименее уклоняющиеся от нуля в равномерной норме на Е = [—1,1], в случаях А{х) = 1 и А (ж) = Q2(x), где О(ж) - многочлен; А. А. Марков [28] привёл другую форму решения этой задачи, а также и более общего случая (Е — [—1,1], А — произвольный положительный на Е многочлен степени, не превосходящей половины степени числителя), поэтому соответствующие функции называются функциями (дробями) Чебышёва-Маркова. Следует отметить монографию [36], посвящённую теории этих рациональных функций, а также работу В. К. Дзя-дыка [56], в которой приводятся другие представления этих функций, через многочлены Чебышёва.
Случай двух отрезков Е = [—1,0'] U [6,1], А(х) = 1 полностью решён
Н. И. Ахиезером в работах [49-52], Е = [—1, a]U[6,1], А(х) = Q2(x), где Q(x) — произвольный необращающийся в нуль на Е многочлен, — A. J1. Лукашовым

Теорема 3 ([70]). Пусть Тдг, и^-і комплексные Т-многочлены на системе дуг Г^. Все нули многочленов Тдг и Вщ-і простые и лежат на /пДГ^); более того, многочлен Трг имеет, по крайней мере, один нуль па каждой из дуг системы Г7;.
Следствие 1 ([70]). Пусть Тдт и Идг_| комплексные Т-многочлены на системе дуг Гг со старшими коэффициентами а = е~А и р = л/Щ0)а = е~171 соответственно, и пусть
Лемма 1 ([19]). Пусть А{р) — тригонометрический политом порядка а, положительный на системе отрезков £. Тогда существуют такие
А, В 6 1, А2 + В'V 0, что тригонометрическая рациональная функция г(р) =
A COS у ip + В sin у ср + Ol COS (у — l) (/?+... + Ь j-jvj sin — [y] ) ip
TN(p) = e-^TN (e*), vN-i{p) = e~~^vUNM (e^) .
Тогда тригонометрический полипом найм,cnee уклоняется от пуля па
систем,е отрезков £ среди всех тригонометрических полиномов порядка у со старшими коэффициентам,и cos ф и зтф, то есть
max -т(р) = inf max cos^ cos —-ip + sin^/i sin --p
2 Cj,dj€M ipe£i 2
Cj £{
л/Жт)
tn{v)