Положительные решения нелинейного уравнения с операторами, растягивающими конус

• Автор: Ле Суан Дай
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 133 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава 1. Положительные решения нелинейных уравнений с выпуклыми операторами в банаховых пространствах с вполне
правильными конусами
§ 1. Существование положительных неподвижных точек и—выпуклых операторов в банаховых пространствах с вполне правильными конусами
§ 2. Существование положительных собственных векторов и—выпуклых операторов в банаховых пространствах с вполне правильными конусами и структура их позитивного спектра
§ 3. Свойства положительных собственных векторов гг—выпуклых
операторов и их непрерывные ветви
Глава 2. Положительные решения нелинейных уравнений с положительными монотонно компактными операторами, растягивающими конус
§ 1. Существование положительных неподвижных точек положительных монотонно компактных операторов, растягивающих конус
§ 2. Существование положительных собственных векторов монотонно компактных гг—выпуклых операторов и структура
их позитивного спектра
§ 3. Свойства положительных собственных векторов гг—выпуклых монотонно компактных операторов на их позитивном спектре

Глава 3. Приложения
§ 1. Положительная обратимость специальных классов линейных операторов
§ 2. Структура позитивного спектра и множества положительных собственных векторов одного класса интегральных
и—выпуклых операторов
§ 3. Положительные решения интегральных уравнений с а—выпуклыми операторами в пространствах с конусами, не
обладающими свойством нормальности
Литература

Введение
В работах М. А. Красносельского [30, 35] и его учеников [5, 14, 16, 17, 18, 39] создана детальная теория исследования положительных решений нелинейных уравнений с вполне непрерывными операторами в банаховых пространствах с конусами, получены многочисленные применения в различных задачах современного анализа и естествознания.
Возникла задача о ее распространении на более широкие классы операторных уравнений и в частности на уравнения с операторами, не обладающими свойством компактности.
В диссертации без условия компактности оператора исследуются положительные решения нелинейных уравнений с непрерывными и—выпуклыми операторами в банаховых пространствах с вполне правильными конусами и в случае, когда исследуемые операторы обладают свойством монотонной компактности. В частности, рассматриваются вопросы существования положительных неподвижных точек и положительных собственных векторов таких операторов, исследуется структура их позитивного спектра, множества положительных собственных векторов и зависимость положительных собственных векторов от соответствующих собственных значений на позитивном спектре оператора.
Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых в общей сложности на 9 параграфов и библиографического списка, включающего 67 наименований.
Во введении обоснована актуальность темы диссертации, приведен обзор исследований по ее тематике, изложены основные результаты, полученные в работе, а также сведения об апробации работы.
Первая глава состоит из трех параграфов. В ней исследуются положи-

§ 2. Существование положительных собственных векторов и—выпуклых операторов в банаховых
пространствах с вполне правильными конусами и структура их позитивного спектра
В этом параграфе приводятся теоремы существования положительных собственных векторов «—выпуклых непрерывных операторов, действующих в банаховом пространстве с вполне правильным конусом и исследуется структура их позитивного спектра.
I. Пусть оператор А действует в банаховом пространстве Е с конусом

Определение. Если Ах = Хх, где х > 0, и X Є R, то элемент х называется положительным собственным вектором [29, 30] оператора А, а число X—позитивным собственным чиааом оператора А, соответствующим собственному вектору х.
Определение. Множество S+(A) всех позитивных собственных чисел оператора А называется позитивным спектром [29, 30] оператора

Теорема 1.7. Пусть выполняются следующие условия:
1. в вещественном банаховом пространстве Е, конус К вполне правилен;
2. и—выпуклый оператор А непрерывен на конусе К;
3. существуют элементы Xq > 0, г/о > 0, и число Ао > 0 такие, что Ах о < А0.т0 Ауо Зг Х0уа]
4 для любых элементов х' > 0, у' > 0 и числа X' > 0, таких, что Ах' < Х'х',Ау' > XУ, существуют элемент х > х', такой, что