Интегральные представления и коэрцитивные оценки на группах Гейзенберга

• Автор: Романовский, Николай Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 62 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Интегральные представления функций классов Соболева на областях групп Гейзенберга
§ 1.1. Интегральные представления функций, заданных в ограниченных областях И”, с помощью первых горизонтальных производных

§ 1.2. О горизонтальных полиномах на группах Гейзенберга

§1.3. Интегральные представления функций, заданных в областях групп Гейзенберга, с помощью горизонтальных производных произвольного порядка

§ 1.4. Теорема о плотности

§ 1.5. О некоторых классах областей на группах Гейзенберга

Глава 2. Коэрцитивные оценки

Глава 3. Теоремы вложения

§3.1. Обобщенные неравенства Пуанкаре

§ 3.2. О продолжении функций классов Соболева
§ 3.3. Теоремы вложения
Глава 4. Задача Фон-Неймана для субэллиптических систем на группах Гейзенберга
§4.1. Следы функций на границах С'2-гладких областей
§4.2. Постановка и решение задачи Фон-Неймана для субэллиптических систем на группах Гейзенберга
Литература
Введение
0.1. Известно, что интегральные представления функций, заданных в областях евклидовых пространств, имеют значительные применения в теории функциональных пространств, теории дифференциальных уравнений с частными производными, теории кубатурных формул и др. вопросах. Начало интенсивного изучения этих направлений было заложено в фундаментальных работах С. Л. Соболева 1936-1938 гг. Теория пространств функций с обобщенными производными нашла свое отражение в книге самого С. Л. Соболева [1], а также в книгах И. Нечаса [2], С. М. Никольского [3], И. М. Стейна [4], О. В. Бесова, В. П. Ильина и С. М. Никольского [5], В. М. Гольдштейна и Ю. Г. Решетняка [6], В. Г. Мазьи [7], Д. Р. Адамса и Л. И. Хед-берга [8], В. И. Буренкова [9], Ю. Г. Решетняка [10] и в монографиях других авторов. По поводу различных способов вывода интегральных представлений см. также работы [11-17].
Актуальность теории пространств Соболева на группах Гейзенберга обусловлена многочисленными приложениями к исследованию свойств решений субэллиптических дифференциальных уравнений, к изучению квазиконформного анализа и ко многим смежным вопросам, см., например, [18-24]. Группы Гейзенберга ИР представляют из себя наиболее известный, во многом модельный, случай пространств Карно —- Каратеодори. Последние суть гладкие многообразия с выделенным касательным подрасслоением, удовлетворяющим некоторым алгебраическим условиям. Векторные поля упомянутого подрасслоения называют горизонтальными. Кривые, у которых касательные вектора содержатся в выделенном подрасслоении, также называют горизонтальными. Расстояние Карно — Каратеодори между двумя точками равно нижней грани длин горизонтальных кривых, соединяющих эти точки. Метрика Карно — Каратеодори не эквивалентна римановой метрике. Изучению геометрии пространств Карно — Каратеодори посвящены работы М. Громова [25, 26], А. Нагеля, Б. М. Стейна, С. Вэйнгера [27], П. Пансу [26, 28] и др. авторов.
Классы Соболева функций, заданных в областях пространств Карно — Каратеодори, определяются через производные вдоль векторных полей из выделенного подрасслоения. Развитие теории таких

функциональных пространств стимулировалось изучением свойств регулярности субэллиптических дифференциальных уравнений. В частности, доказательство неравенств Пуанкаре и Соболева для функций, заданных в шаре пространства Карно — Каратеодори было необходимо для обобщения итерационной техники Мозера. С этим направлением исследований связаны работы Д. Джерисона [29-31], Б. Франчи [32-37], Р. Л. Уидена [33, 36, 37], Л. Капони [38], Д. Даниэлян [39, 40], Н. Гарофалло [38, 40-42], Д. М. Нье [40, 42] П. Хайлаша [43, 44], Ю. Хэйнонена [45], П. Коскела [43, 45], Г. Лу [36, 37, 46-49], О. Мартио [44], С. К. Водопьянова [50-58], А. В. Грешнова [54-56, 59] и др. авторов.
В настоящее время в некоторых работах интегральными представлениями функций, определенных в пространствах Карно — Каратеодори, называют неравенство вида
где х Є B(z,r), a Ci и Сз не зависят от ж, г и /. Из этого соотношения выводятся неравенства Пуанкаре и Соболева. Однако многие более тонкие результаты не могут быть получены с помощью упомянутого неравенства. К таким результатам относятся, например, коэрцитивные оценки для дифференциальных операторов, которые выражаются в виде линейных комбинаций производных некоторого фиксированного порядка вдоль векторных полей из стандартного базиса горизонтального подрасслоения. В дальнейшем будем называть такие операторы линейными однородными дифференциальными операторами с постоянными в смысле стандартного базиса горизонтального подрасслоения коэффициентами.
Известно, что коэрцитивные оценки являются важным инструментом при изучении систем уравнений математической физики. Обычно в литературе под коэрцитивными оценками для дифференциального оператора Q понимают либо неравенство
B(z,C3r)

г. Очевидно, что все содержат шар В[ = В (ах, Л —г). Отсюда непосредственно
следует, что У звездно в О относительно этого шара. Далее, выберем некоторое множество £/&, не входящее в Уь Повторяя предыдущие рассуждения, построим открытое множество Уг, звездное в О относительно шара В'2= В(ак,Л — г). Продолжим этот процесс. Он оборвется на некотором шаге, поскольку центры шаров В[ содержатся в ограниченной области, а расстояния между любыми двумя из них больше числа г.
Будем говорить, что область Г2 с И” удовлетворяет ’’сильному условию Липшица”, если любая точка х° е дИ имеет окрестность ихо такую, что в некоторой декартовой системе координат множество Лхо и О может быть представлено неравенством ХМ > /жо (ж1, ... ,Хм-1) (N = 24 + 1), где либо функция /жо удовлетворяет условию Липшица с постоянной Ь($хо) и конус ж« — Жд, > Ь(/хо)\(хх,... ,хм-х) — (ж]|,...,а:дГ_1)|| имеет непустое пересечение с горизонтальной плоскостью, привязанной к точке ж0, либо функция До принадлежит классу С1,1(иха).
Лемма 3. Пусть область И С ИР ограничена и удовлетворяет ’’сильному условию Липшица”. Тогда области И и СП удовлетворяют условию конуса.
Доказательство. Все точки д!1 можно разделить на два класса. Для точек первого класса существует окрестность, внутри которой область П в некоторой системе координат представима в виде надграфика липшицевой функции, для которой выполняется вышееформулированное условие. Точки второго класса имеют окрестность внутри которой 811 является С1,1-гладкой, причем касательные плоскости к 811 в этих точках совпадают с горизонтальными плоскостями, привязанными к ним.
Рассмотрим некоторую точку ж € П. Выберем открытый шар Вх с центром в точке ж следующим образом. Если ж € О, то пусть 2Вх с П. Если точка ж лежит на 811 и принадлежит первому классу, то будем предполагать, что 2Вх с Пх и конус хы — Уы > £(/®)||(ж1,..., хм-г) — (г/1, ■.., г/лт—х) || имеет непустое пересечение с горизонтальной плоскостью, привязанной к точке у для любой точки у € Вх. Если точка ж 6 811 принадлежит второму классу, то потребуем чтобы 2Вх С 11х и область П была бы представима или в виде надграфика, или в виде подграфика С1^-гладкой функции /г в изначальной системе координат. Для достаточно малых шаров все эти требования могут быть удовлетворены.
Шары Вх образуют открытое покрытие компактного множества П. Выберем из него конечное подпокрытие В{, * = 1,..., т.
Перейдем теперь непосредственно к проверке выполнения условия конуса для области П. Фиксируем произвольную точку ж € О. Она попадет в один из упомянутых шаров В^. Рассмотрим три случая. В первом случае 2В^ С О. Тогда в качестве конуса Кх можно взять гейзенбергов шар с центром в точке ж радиуса, совпадающего с радиусом шара Д,-.
Во втором случае вместе с точкой ж в области О лежит евклидов конус, фиксированного раствора и высоты, имеющий непустое пересечение с горизонтальной плоскостью, привязанной к точке ж. Выберем некоторый шар В, содержащийся в этом конусе. Учитывая, что орбиты {ж - дДж“1 - у)} в точке ж касаются горизонтальной плоскости и вогнуты в сторону этой плоскости, получаем, что гейзенбергов конус, имеющий вершиной точку ж и основанием шар В, содержится в области О.