Особые случаи обратных краевых задач для аналитических функций

• Автор: Славутин, Михаил Львович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 112 c. : ил

ГЛАВА I. ОБРАТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ФУНКЦИИ С

ОСОБЕННОСТЯМИ В ЗАМКНУТОЙ ОБЛАСТИ *

§1. О граничном поведении функции, отображающей круг на область с гладкой границей

§2. Поведение функции вблизи угловой точки

границы области

§3. ОКЗ для случая бесконечного искомого

контура

§4. Логарифмическая особенность на границе

§5. Полюс и логарифмическая особенность

в бесконечно удаленной точке

§6. Вопросы однолистности

ГЛАВА 2. ОБРАТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРЯЖ
РЕШЕТОК КОНТУРОВ
§7. Решетка конечных контуров
§8. Решетка бесконечных контуров
§9. Обобщение результатов §5 на случай
бесконечносвязных областей
§10. Однолистная разрешимость
ЛИТЕРАТУРА

Диссертация посвящена решению обратных краевых задач /ОКЗ/ теории аналитических функций для односвязных и бесконечносвязных областей, а также вопросам однолистной разрешимости этих задач.
Основные результаты в теории аналитических функций с многочисленными приложениями изложены в монографиях Г.Г.Тумашева и М.Т. Нужина /Т.З ,ТА /, М.Т.Нужина и Н.Б.Ильинского /Н.З /,Р.Б.Салимова /СА /, обзорной статье Ф.Г.Авхадиева и Л.А.Аксентьева /А.6/, обзоре /А. 13/.
Начало развитию ОКЗ в нашей стране положила работа Г.Г.Тумашева /Т.2/, М.Т.Нужин в работе /Н. 1 / дал общую постановку ОКЗ, сформулировав ее впервые как задачу для аналитических функций.
Приведем постановку основной ОКЗ, являющейся модельной в теории /А. 13/.
Определить область в плоскости комплексного переменного
и функцию М(Х) , аналитическую в этой области,если на Ьг -границе 2)^ , известны значения функции уу/(2) :
+ (°л)
где $ -дуговая абсцисса точки контура » отсчитываемая от
некоторой точки этого контура в положительном направлении, при котором область остается слева; ¥(о) = ¥(£) ,У'(0) = У'(£)
Различают внутреннюю и внешнюю задачу в зависимости от того, внутри или вне кривой расположена область .Предполагается, что соотношение (О.!) является уравнением замкнутой жордановой кривой расположенной в плоскости '*/=¥+1¥
В предположении гельдеровости производных И T'/S) М.Т.
Нужиным было доказано существование и единственность решения внутренней задачи. Ф.Д.Гахов показал существование решения внешней задачи / Г. 1 , Г. 2 / для случая, когда величина V('oo)=w0 заранее не задается. Если производные 'f'te) и Ч'Ч*) не удовлетворяют условию Гельдера в отдельных точках; или же имеют общие нули, то гладкость контуров Lz и Lw может нарушаться. Исследование особых точек контуров проведено Ф.Д.Раховым и И.М.Мельником / Г.З , Г. А / и рядом других авторов /Т,2 , Р. 3 , А.10, К. 1 /.
Ф.Д.Рахов /Г. i / и С.Н.Андрианов /А. 14/ исследовали ОКЗ для односвязных областей при наиболее широких предположениях относительно задаваемых функций 44s) и 4(4) . Ими было доказано,
что если заранее не требовать непрерывность функции w'(2) вплоть до границы, то решение задачи существенно не единственно.
В силу физической сущности многих ОКЗ большое значение приобретают исследования однолистной разрешимости задач. Роль условий однолистности была подчеркнута С.Н.Андриановым /АЛА / и Ф.Д.Раховым /Г, 1 /. Первые достаточные условия однолистности решений ОКЗ были получены в работах И.С.Красновидовой и B.C. Рогожина /К. 2 / ,В.С.Рогожина /Р. 2 / ,Л.А.Аксентьева /АЛ , АЛ/, С.Н.Кудряшова /К.А /. Обзор результатов по этой проблеме содержится в /АЛ / и /АЛЪ/.
Обратным краевым задачам по параметрам, отличным от S , посвящены работы М.Т.Нужина, /Т.А , Н.2 /, Р.Б.Салимова /С. 1 ,С.2,
С. А / и других авторов /АЛЪ/.
В случае, когда в качестве параметра выбрана декартова координата х точки контура 2% ,граничные значения задаются

Пусть (С4иг 5 тогда согласно (4.3) и (4.4) будем иметь
- У-к _: У- иг ср-к: ; 4- ж
отсюда
у, = - сА ^ «К УгЛ1 4 ак ¥=* ■
Учитывая (4.5), найдем углы 0г+ и (?£* , образованные с действительной осью Ч^ касательными, проведенными в точке И^ = 0.
Получим
а со* чми. іо &Ї - — = £ім сіс о
V* * X
($->ч+0)
то есть в£ ■= ХД - С4($о+ 0)-ш )/л .Аналогично
= ТД - (Ч'(^о'-О)-т)/2 • Следовательно <Д 7Г = £?/- 0/=
(Ч(?о+0)-Ч(Ъ-0))/2
Функцией

отобразим область на область 2)^ с границей Ь^3 в
плоскости •+іЧ'з . Ясно, что точка И$-Ц£(СА) - обыкновенная точка контура Ь
Пусть функция К*) осуществляет конформное отображение круга Ё в плоскости 2 - на область , причем