Рекуррентные соотношения и рациональные аппроксимации

• Автор: Буслаев, Виктор Иванович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 195 с.

1 Рекуррентные соотношения, теорема Пуанкаре и ее уточнения
1.1 Теоремы Пуанкаре и Перрона для разностных уравнений
с предельно постоянными коэффициентами
1.2 Аналог теоремы Пуанкаре для систем соотношений неограниченного порядка
1.2.1 Замечания к формулировке основной теоремы
1.2.2 Доказательство основной теоремы при т = 1
1.2.3 Доказательство основной теоремы при т > 1
1.2.4 Видоизмененный вариант основной теоремы
1.3 Уточнение двумерного векторного варианта теоремы Пуанкаре-Перрона
2 Гипотеза Гончара для строк обобщенных аппроксимаций Паде
2.1 Гипотеза Гончара для строк таблицы многоточечных аппроксимаций Паде
2.2 Гипотеза Гончара для строк таблицы аппроксимаций Паде ортогональных разложений
2.3 Гипотеза Гончара для строк таблицы аппроксимаций Паде-Фабера
2.4 Эквивалентность гипотез Гончара для различных типов обобщенных аппроксимаций Паде
3 Сходимость непрерывных дробей
3.1 Сходимость композиций дробно-линейных преобразований
3.2 Сходимость числовых непрерывных дробей
3.3 Сходимость непрерывных Т-дробей
3.3.1 Круговая сходимость Т-дробей
3.3.2 Аналог теоремы Ван Флека для Т-дробей с предельно периодическими коэффициентами
3.3.3 Двухточечный аналог трансфинитного диаметра и
двухточечный аналог теоремы Пойа
3.4 Сходимость непрерывной дроби Роджерса-Рамануджана
3.4.1 Представление функции Нч в виде отношения двух
голоморфных в единичном круге функций

3.4.2 Множество сходимости непрерывной дроби Роджерса-Рамануджана
Контрпример к Паде-гипотезе
Понятие непрерывной дроби, возникшее как результат использования алгоритма Евклида, было известно еще в древности, но не потеряло своей актуальности и в наше время. Разложения в непрерывные дроби, содержащие вместо числовых элементов функции комплексного переменного, впервые появились в работах Эйлера, Многочисленные приложения нашли введенные Гауссом разложения в непрерывную дробь отношений гипергеометрических функций. Исследования по теории непрерывных дробей таких крупных математиков, как Лагранж, Пуанкаре, Риман, Стилтьес, Фробениус, Чебышев, Эрмит, Якоби, оказали далеко идущее влияние на дальнейшее развитие математики. В рамках теории непрерывных дробей Стилтьесом был введен интеграл Стилтьеса и решена проблема моментов; общие ортогональные многочлены впервые были открыты Чебышевым как знаменатели подходящих дробей чебы-шевской непрерывной дроби; разложения в непрерывные дроби, применяемые Стилтьесом и Пуанкаре в связи с расходящимися рядами, привели к появлению асимптотических разложений.
С 60-х годов прошлого века наблюдается новый рост интереса к непрерывным дробям и обобщающим их конструкциям рациональных аппроксимаций аналитических функций. Эти конструкции впервые появились в конце 19-го века в работах Фробениуса и Паде и получили общее название аппроксимаций Паде. Аппроксимации Паде являются удобным вычислительным инструментом при обработке данных, определяющих аналитическую функцию. Качественно новый уровень вычислительных средств, достигнутый к 60-м годам прошлого века, и востребованность аппроксимаций Паде в прикладных исследованиях объясняют бурное развитие теории рациональных аппроксимаций аналитических функций.
- степенной ряд, пит - целые неотрицательные числа. По определению рациональная функция [n/m]f = Рп,т1Яп,т называется аппроксимацией Паде типа (п,т) степенного ряда (0.1), если
Пусть

(0-1)
(0.2)
и имеет место равенство
(<Эп,тГ - Рп,т)(г) = Агп+т+1 +
(0.13) будут получены в следующем параграфе, однако их нетрудно получить и из равенств (0.15). Таким образом, теорема 1 при тп = 1 доказана.
1.2.3 Доказательство основной теоремы при т >
Докажем теорему 1 при т > 1 сначала в предположении, что
Д)(Л = * • • = Кт-і(/) = 1 . (1.53)
В этом случае кольцо Т^т{і) совпадает с кольцом Т§ = {е~ё < г < е6}. Введем дополнительно следующие обозначения и определения.
Н^т - множество ^-мерных вектор функций 4/; = (Ф/Д, • ■ • ) Фг,г) таких, что все их координаты Фщ £д являются голоморфными функциями в некоторой окрестности кольца Тт. Через £Ду будем обозначать
(I — 1)-мерную вектор функцию, получаемую из вектор функции Ф і вычеркиванием ее у-й координаты
Если Ф і Є Щ,т и Ф к Є Нк}Т , то через Ф і ® Ф к будем обозначать (I + Афмерную вектор функцию, первые I координат которой совпадают с координатами вектор функции Фг, а последние к координат - с координатами вектор функции Ф*,.
Через 1¥(гх £(), как и ранее, будем обозначать определитель Ван-дермонда точек ..., Если все точки г і,,гі лежат в кольце Тт и
Ф і Є Ні}Т, то положим
...,*)= (Іеі (4фг))..=1..., ■ (1.54)
Очевидно, ЧТО IV(г^, . . . , гі) = . . . , 2;), где їі; - вектор функция,
координаты которой равны 1,2, г2 г1~1. Положим
тЧ?,/ ^ .. ,,Х[)
у и г')= ЩЙ Д ■ (ь55)
Обратим внимание на то, что в случае, когда среди точек гі,... ,гі имеются равные, числитель и знаменатель дроби, стоящей в правой части равенства (1.55), обращается в ноль, и в этом случае дробь определяется по непрерывности.
Если Ф 21= Ф; ф ~$1 € Ягщ, то положим
Пф2,(21,.. .,гі) = Уф‘(г1:... ,гі) х (г1у..., г{)