Резольвента оператора дифференцирования и ее применение в некорректно поставленных задачах

• Автор: Хромов, Александр Августович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 103 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Резольвента оператора дифференцирования и ее свойства
1.1 Приближающие свойства резольвенты оператора Ь : у', у(0) = 0 на отрезке [£,1]
1.2 Приближающие свойства резольвенты оператора Ь2 : у',у( 1) = 0 на отрезке [0,1 — є]
1.3 Приближение функций и их производных на отрезке [0,1] с помощью операторов О,
Глава 2. Применение резольвент для решения некорректно поставленных задач
2.1 Решение задачи восстановления функций вместе с их производными
2.2 Решение интегрального уравнения второго рода с неограниченным обратным оператором
2.3 Решение интегрального уравнения Вольтерра первого рода
Глава 3. Дополнение. Решение интегрального уравнения Вольтерра первого рода с помощью сумм Фейера
Литература

Введение
В данной работе, отправляясь от резольвенты простейшего дифференциального оператора первого порядка, построены семейства интегральных операторов, позволяющих равномерно аппроксимировать непрерывные функции и их производные любого порядка на отрезке [0,1]. Затем эти семейства используются для аппроксимации решений некорректно поставленных задач.
Математическая задача называется корректно поставленной, если решение ее существует, единственно и непрерывно зависит от исходных данных.
Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то задача называется некорректно поставленной. Особый интерес представляют некорректно поставленные задачи, в которых не выполняется третье требование корректности. В данной работе рассматриваются именно такие задачи, то есть некорректность понимается в смысле отсутствия непрерывной зависимости решения от исходных данных, а существование и единственность решения предполагаются заранее.
Теория некорректно поставленных задач начала разрабатываться сравнительно недавно - с 60-х годов прошлого века: со времен Адамара ошибочно считалось, что такие задачи не представляют интереса для исследований. Однако, оказалось, что неустойчивые (некорректные) задачи возникают при описании многих физических явлений (см. [1-4]): в геофизике, спектроскопии, астрофизике и т.д., а также в теоретических исследованиях, например, в теории приближений.
Основоположниками теории некорректно поставленных задач являются российские ученые: А. Н. Тихонов, М. М. Лаврентьев, В. К. Иванов. В их работах [5-7] были заложены основы методов приближенного решения таких задач, которые получили дальнейшее развитие как в нашей стране, так и за рубежом.
Большой вклад в теорию некорректно поставленных задач внесли Агеев А. Л., Апарцин А. С., Арестов В. В., Бакушинский А. Б., Васин В. В., Васильев Ф. П., Денисов А. М., Мельникова И. В., Морозов В. А., Романов В. Г., Ягола А. Г. и многие другие математики (см. обзоры в 1-4,8,9,

а также работы [10-14]).
Из работ близких к исследованиям данной работы, укажем публикации [15-20] (см. также цитированную литературу в указанных работах).
Многие некорректно поставленные задачи приводятся к решению уравнения
Ли = /, (1)
где А - линейный ограниченный оператор, действующий из пространства Х в пространство X? (Х и Х2 - банаховы), и такой, что обратный оператор А~1 существует, но неограничен.
При таких условиях уравнение (1) называется операторным уравнением первого рода. Задача приближенного решения уравнения (1) рассматривается обычно в следующей постановке.
При указанных выше предположениях об операторе А предполагается еще, что правая часть / задана ее 8 -приближениями /$ в метрике пространства Х2, т.е. вместо / нам известны Д, такие, что \/$ — /||х2 < $ Требуется по /$ и 8 построить последовательность элементов щ так, чтобы Цглд — и\х1 —> 0 при 8 —> 0.
Для нахождения приближенных решений некорректно поставленных задач применяются методы, называемые методами регуляризации, Метод регуляризации для уравнения (1) состоит из двух частей [21, с. 56].
1. Строится семейство линейных операторов Та, зависящих от параметра а, действующих из пространства Х2 в пространство Х и обладающих свойствами:
а) каждый из операторов Та определен на всем пространстве Х2',
б) ||Га.||х2->х'1 < оо при каждом значении параметра а;
в) для любого ибХ) выполняется сходимость:
||Т„Аи — иЦхх —* 0 при а —» 0 (2)
(операторы Таобладаюгцие свойствами а),б),в), называются регуляризиру-ющими [1, с. 44]).
2. Параметр а согласуется с погрешностью 8 (а = &(8)) так, чтобы
а(<5) —> 0 и 8\Та($)||х2-х1 -> 0 при 8 —> 0. (3)
Тогда элементы и$ = будут являться приближенными решени-
ями уравнения (1).
В дальнейшем мы будем пользоваться известной из теории некорректно поставленных задач теоремой В. К. Иванова.

(є -любое малое положительное число).
Доказательство. Так же, как в лемме 1. 2, сначала докажем сходимость (1.35) для и(х) €Е С1[0,1]. Тогда имеем:
-егх-

— е ГІи'(і)сИ
-и{х) - -е~г-х)и( 1) + - / ег(*-*)и/(*)<Й.
Отсюда имеем:
II - гДг(Т2)м - «||с[0,1-с] < М1)|е гє + ||||с[0.1]Х

ег{х-і]сІі
(1.36)
С [0,1—є]
(1.37)
а из этой оценки и оценки (1.36) получаем (1.35).
Пусть теперь и(х) 6 С[0,1]. Покажем, что нормы операторов —гЛг(Т2), рассматриваемых как операторы из С[0,1] в С[0,1 — ег], ограничены константой, не зависящей от г.
Действительно
II - гНг(Ь2)и\С[оЛ-е] < II - гПг{Ь2)и\с[1 0,1]
г / е

С[0,1]
С[0,1]
в силу оценки (1.37).