Регулярные алгоритмы определения базиса ядра линейного оператора

• Автор: Агеев, Александр Леонидович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Свердловск
• Количество страниц: 107 c. : ил

ГЛАВА I. Восстановление базиса ядра линейного оператора в
гильбертовых пространствах
§1. В -базис ядра линейного оператора и его свойства. 12 §2. Алгоритм восстановления В - базиса ядра оператора
А в гильбертовом пространстве
§3. Дискретная аппроксимация бесконечномерного алгоритма
ГЛАВА 2. Рецуляризирущие алгоритмы в пространстве функций
ограниченной вариации
§1. Регуляризация уравнения I рода в пространстве
функций ограниченной вариации
§2. В -базис в пространстве функций ограниченной
вариации и его свойства
§3. Алгоритм восстановления В -базиса в пространстве
функций ограниченной вариации
ГЛАВА 3. Метод невязки для задачи определения В -базиса... 65 §1. Построение оптимального на компакте метода для
точно заданного оператора
§2. Выбор параметра регуляризации в задаче нахождения
базиса ядра оператора
§3. Конечномерная аппроксимация бесконечномерных алгоритмов
ПРИЛОЖЕНИЕ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
Специальный класс составляют задачи, решение которых неустойчиво к малым изменениям исходных данных. Интенсивное развитие методов решения таких задач началось с работ М.М.Лаврентьева, А.Н.Тихонова, В.К.Иванова. Результаты исследования этих авторов и их учеников изложены в [Зб], [ 411, [63]. Ссылки на работы других авторов можно найти в I 64].
Рассмотрим задачу решения уравнения I рода
А и = $ (од)
где А линейный непрерывный оператор,действующий из банахова пространства и в банахово пространство Г
Определение I. Говорят, что задача (0.1) является некорректно поставленной (по Адамару), если нарушается хотя бы одно из условий:
1) Область значений оператора А Я (А) = Я.
2) А взаимно-однозначный оператор.
3) Оператор А 1 непрерывен.
Фундаментальным понятием, позволяющим устойчиво решать некорректно поставленные задачи, является понятие регуляризи-рующего алгоритма введенного А.Н.Тихоновым в [ 611. Регуляризи-рующие алгоритмы строятся на основе итерационных методов С 9Л,
[ л], [19], [бб] (библиография по итерационным методам есть в [63] на стр. 59). Регулярные методы можно строить, заменяя оператор А близким к нему [44]. Широкое распостранение получили вариационные методы построения регуляризирущих алгоритмов: метод А.Н.Тихонова [б2], метод квазирешений С 34], метод невязки [зз], метод обобщенной невязки [27].

Регуляризирующие алгоритмы позволяют использовать дополни - 1 тельную информацию о точном решении, которая часто задается с помощью вполне непрерывного взаимооднозначного оператора В , действующего из банахова пространства 2 в I/. При этом требуется, чтобы точное решение уравнения (0.1) принадлежало Р ( В ), нто равносильно [27], [ 66 ] некоторой гладкости точного решения. Регуля-ризующие алгоритмы в пространстве (функций ограниченной вариации впервые были построены в [29] , [303. В этих работах была доказана сходимость приближенных решений в Ьр . В дальнейшем в работах [28], [ 4б], [47], [52] и независимо в работе автора [1] , удалось доказать равномерную сходимость приближенных решений. Заметим,
что в регуляризирующих алгоритмах, использующих вариацию, на точ-

ное решение накладываются достаточно слабое требование: (монотонность или выпуклость искомого решения требовалась в [23], [25], [2б] ).
Необходимо отметить, что регуляризирующие алгоритмы позволяют получать приближение только одного решения задачи (0.1), как правило, В -нормального решения (смотри, например, [п], [49] , [бо]
Определение 2. Элемент Ц реализующий
Аи =£,ие |?(В)}7 (0-2)
называется £ - нормальным решением уравнения (0.1).
Это значит, что если выполняется условие 2), либо нам требуется В - нормальное решение уравнения (0.1), то применение регуляризирующих алгоритмов эффективно. Иначе необходимо привлекать дополнительную информацию об искомом решении.
Обширная литература в теории обратных задач посвящена дока1. Тезисы этой работы были опубликованы ранее в кн.: Всесоюз. конф. по некорректно поставленным задачам.: Тезисы докл. Фрунзе,
сентябрь 1979. - Фрунзе: ИЛИМ. - 1979. - с.З.

8 М 4COIrlSt . Пусть это не так. Тогда существует £>О ,
, 5 такие, что 0(^0 ,8пг+ О , СОП?t при /г-*©©
и существуют Ц0(,г^е. McKtt.Sn. такие, что
щ н и^^-ио11>^, и0€М0
Так как М0ПЬ/+{о}, возьмем произвольное 1Л<,£М0ПЬЛ Тогда
IIА[ а“'18,1 ] -Ь„(1Р+ «н II ||и0«Г^
Ввиду теоремы 2.2 можно считать, что И Л *-*• V при /г-*-о©
в Ьр , /€Ц/. При этом,поскольку IV ( и*к ^Л) = и <х'1 и
можно считать, что т. ( V ) = V , в силу следствия 2.1.
II VII 4 1ш1 II )
И-+оо
Из этого же неравенства следует, что А С.V7 — ^ , а это противоречит предположению. Докажем вторую часть теоремы. Заменяя в неравенстве V на Кс , имеем, что
КЦ II 41иФ Нц,.
К. -* Оо
Значит, существует II иак^Л || 1 у “ I! 1А
к. -> ОО
Далее,применяя леммы 2.2, 2.1 и 2.3,получаем требуемый результат.
Замечание 2.1. Теорема допускает обобщение на случай возмущенного оператора. Если вместо оператора А известен оператор А к такой, что
ими] -Ак[«] И 4411,11 «Ю,
где М0 = {и0} и ЧЧМиЮ-О при К-*о, 11и||«соа5^
тогда множество решений задачи (2.3) Mw.Sk-* Мо при