Равенство Парсеваля для рядов Фурье по системе Хаара

• Автор: Алферова, Елена Дмитриевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 65 с.

Обзор предшествующих результатов
Равенство Парсеваля — равенство, выражающее квадрат нормы элемента в векторном пространстве со скалярным произведением через квадраты модулей коэффициентов Фурье этого элемента по некоторой ортогональной системе элементов; так, если X — сепарабельное векторное пространство со скалярным произведением ( , ), || • || — соответствующая ему норма и {еп} -- ортогональная в X система, еп ^ О, п = 1,2 то равенством Парсеваля для элемента х Є X называется равенство

1М12 = £кНЫ|2,

(х»е») _ , „
ап — / ч , П' — 1)2
— коэффициенты Фурье элемента х по системе .
Если система {еяК£Ф ортонормированная, то равенство Парсеваля имеет вид

Н*Н2 = £к12-

Выполнение равенства Парсеваля для данного элемента х Є X является необходимым и достаточным условием того, чтобы ряд Фурье этого элемента по ортогональной системе {е„} сходился к самому элементу х но норме пространства X. Выполнение равенства Парсеваля для любого элемента х Є X является необходимым и достаточным условием для того, чтобы ортогональная система {еп}£°=1 была полной системой в X.
В случае, когда пространство X — Ь2[—тг, 7г] состоит из действительных функций, квадрат которых интегрируем но Лебегу на отрезке [—л, ж, функция / £ L2[-7T, 7г], в качестве полной ортогональной системы функций
взята тригонометрическая система функций и

а0 v-^
/ ^ + > ап cos пх + bn sin пх,

где знак ~ понимается в смысле сходимости в метрике Л2; тогда равенство Парссваля имеет вид
1 /* 2 00 - / fx)dx= у+ J]an(/) + fen(/)

и называется классическим равенством Парееваля; оно было указано М. Парсевалем (М. Parseval, 1805). В этом равенстве

«о = - I f{x)dx,

—7Г

= — I / (ж) cos nxdx,
тг J
-7Г

Ьп = — [ /(ж) sin пж dx тг J
коэффициенты Фурье функции /. Если д 6 Л2[—я, 7г] и
, 00 On
+ ^ On cos пх + sin пх,

то равенство Парееваля выглядит следующим образом:

и называется обобщенным равенством Парсеваля.
Вышеприведенные формулы имеют место не только для случая / в Ь2,
будем называет дополнительными, если обобщенное равенство Парсеваля имеет место для любых / £ К и д € К'. При этом сумма ряда в правой части понимается в смысле суммирования каким-либо методом.
Теорема. Следующие пары классов являются взаимно дополнителъограничеиных периодических функций и Ь[—7г, тг] -- класс интегрируемых по Лебегу функций. В последнем случае сходимости может не быть, по ряд в равенстве Парсеваля суммируется методом средних арифметических (С, 1) (см. [1, с. 20, 255]).
Теорема. Если / интегрируема по Лебегу, а д имеет ограниченное изменение, то ряд в правой части равенства Парсеваля сходится (см. 11,
Часто тригонометрический ряд, соответствующий функции /(ж), удобнее задавать в следующей форме:
+00
при этом коэффициенты Фурье с„ функции / определяются формулами
Для такого представления тригонометрического ряда широко известно классическое равенство Парсеваля, относящееся к рядам Фурьс-Стилтьеса. Теорема. Если /(ж) — 2тг-периодическая непрерывная (функция на [0,2п],
д Є Ь2, но и в ряде других случаев. Два функциональных класа К и К'
пыми: (I) Ьр[—7Г, 7г] и Ьр[—7Г, 7г], і + р- = 1, 1 < р < оо; (II) В — класс
с. 257]).
/и ~ 22 Vі“

ГЛАВА 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЛЕБЕГУ
€ [0,1] а Хп;{х/)~ функция системы Хаара, заданной па у-ом ребре куба — отрезке [0,1].
Зафиксируем в пространстве Кт номер: N = (АГ1?..., 2Ут), N1 Е N и, соответствующее ему множество индексов
«Ну = {(*ь • • ■ > бп) ^ т}.
Будем считать частную сумму ряда

©г*(/, х) = ^2 Л»ЫХ) = X] /(*ЫХ) = (/, Х.Ых),
где:
ДО = (/, Х) = Щ I • • • I Лх)Хд(х) с1х.
П"‘
Сначала посчитаем для N = (2*1 2*“'т), ^ = 1,2 j = 1,... ,гп. Для п = 2* + г, * = 1,2 2*, к = 0,1,... обозначим:
2* ’ 2к ) ’
(Д0 + - (! 1 Л 1 - дИ-1 (кгу _ (Л 1 _М - д2»
' ' I 2^ ’ 2^'+1 / +1 ’ '' I 2к+1 ’ 2к) к+1'
Определим на брусе II"' функцию гаД/, х) : Пш —>■ Е следующим образом. Если каждый Е А*., ij = 1,2,... 2кр У — 1 т то

шк(/, х) = 2-^ 3 J '" J Д*)
д*.« д:.га
А-1 «т
Г^Ш т
Функции Шк(/, х) образуют 2■’-мерное пространство функций, принимающих постоянные значения на разбиении бруса ГГ’1. Так как функции системы Хаара линейно-независимы, то пространство введенных функций