Приближенные решения операторных уравнений с монотонными операторами в пространствах с двумя полуупорядоченностями

• Автор: Кубекова, Бэла Сапаровна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Ставрополь
• Количество страниц: 118 с.

Оглавление
Введение

Глава 1. Вопросы геометрии банаховых пространств с двумя полуупорядо-

ченностями

§ 1. Основные типы конусов

1.1. Воспроизводящие и несплющенные конусы

1.2. Миниэдральные конусы

1.3. Сильно миниэдральные конусы

1.4. Принцип Биркгофа неподвижной точки для полуупорядоченных пространств

§2. Банахово пространство с двумя полуупорядоченностями

2.1. /Сминиэдральные и сильно ^-миниэдральные конусы
2.2. Обобщение принципа Биркгофа для пространств с двумя конусами
2.3. Признаки сильной Я-миниэдралыюсти конуса К
2.4. ^'-воспроизводящие и /С-несплющенные конусы
2.5. Свойство /Снесплющенности /^-воспроизводящих конусов
2.6. /^-нормальные конусы
2.7. Принцип неподвижной точки для операторов сжатия, действующих в пространствах с двумя конусами
2.8. Развитие критерия М.Г. Крейна нормальности конуса для случая пространств с двумя полуупорядоченностями
2.9. Об одном новом критерии нормальности конуса
Глава II. Существование положительных собственных векторов у положительных операторов
§ 1. Равномерно положительные операторы
§2. Критерий равномерной положительности оператора
§3. Теоремы существования положительных собственных векторов у положительных операторов
§4. Операторные уравнения с монотонно разложимыми операторами.
Двусторонние оценки решения
4.1. Двусторонние оценки

4.2. Монотонно разложимые операторы
4.3. Построение монотонно сходящихся приближений к решению
“по недостатку” и “по избытку”
4.4. Оценка эффекта ускорения сходимости построенных приближений
4.5. Алгоритм выбора начальных приближений
§5. Уточнение двусторонних оценок решения для операторных уравнений с ио-ограниченным снизу оператором
§6. Признаки существования и положительности оператора, обратного к
данному для пространств с нетелесным конусом
Глава III. Операторные уравнения с дифференцируемыми операторами
§ 1. Постановка задачи
§2. Продуктивность модели Леонтьева
§3. Проблема единственности положительного решения нелинейной мо
дели Леонтьева
§4. Модифицированный метод Ньютона для решения нелинейной модели
Леонтьева
Глава IV. Метод однопараметрического итеративного агрегирования для
решения операторных уравнений
§ 1. Описание метода однопараметрического итеративного агрегирования. 99 §2. Обсуждение метода однопараметрического итеративного агрегирования
2.1. Применение метода однопараметрического итеративного агрегирования для приближенного решения линейных алгебраических уравнений
2.2. Применение метода однопараметрического итеративного агрегирования для приближенного решения интегральных уравнений
2.3. Применение метода однопараметрического итеративного агрегирования для приближенного решения нелинейных алгебраических уравнений
Заключение
Литература

Введение.
Значительное число задач анализа, алгебры, теории интегральных уравнений можно представить с единых позиций в виде линейного или нелинейного операторного уравнения вида:
х = А(х)+/ (0.1)
с оператором А(х), действующим в том или ином банаховом пространстве Е. При этом для таких уравнений возникают весьма специфические задачи. В качестве довольно распространенных задач такого типа, например, встречается задача о существовании у таких уравнений решения х=х*, обладающего свойством неотрицательности: х* >6. Такого рода задачи, вообще, специфичны в задачах экономики, для которых экономический смысл имеют лишь неотрицательные решения (типичный пример - модель Леонтьева межотраслевого баланса). Поэтому при рассмотрении подобных задач предполагается наличие в пространстве дополнительной структуры-конуса К, с помощью которого в пространстве Е вводится полуупорядоченность: для некоторых пар векторов х, у е £ определено отношение х>у, являющееся аналогом обычного скалярного неравенства: х>у если (х- у)еК. От свойств конуса в пространстве Е и оператора А, действующего в этом пространстве зависит существование решения х* у уравнения (0.1), а также способ, с помощью которого можно построить приближения к этому решению. Дальнейшее развитие теории полуупорядоченных пространств и ее приложений привело к обобщению этих понятий на пространства с двумя конусами. Настоящая работа продолжает исследования ряда авторов (Красносельский М.А., Стеценко В.Я. и др.) в этом направлении.
Во всей работе используется терминология функционального анализа и, в частности, теории полуупорядоченных пространств [11], [12], [15], [17], [22].
Диссертация состоит из введения и четырех глав. В ней принята двойная нумерация для утверждений и формул, включающая номер главы и порядковый номер утверждения или формулы.
В § 1 главы I приведены определения и примеры основных типов конусов, а также ряд известных результатов.
*+(0 =

вая /, имеет с осью ординат лишь единственную общую точку 0. Действительно, пусть А - любая точка положительной полуоси ОУ. Если ОА > ОО = шах х+(/), где
Гх(/), если х(?)>0,
[ 0, если х(?) < 0,
то, очевидно, точка А не принадлежит кривой Ь. Пусть ОА < шах х+(/). Очевидно,
найдется такой сегмент [0; ?о], на котором х(/) < Пусть ОК = ■ Тогда на
отрезке [0; /0] кривая х([) расположена под отрезком КМ, поэтому кривая Ь будет расположена под КС. Итак, линия Ь через точку А не проходит. Поэтому уравнение линии может быть записано в виде у = и(і). Так как и{і) > х(і), то х(0 = и(1)-[и(1)-х(1)1 где и(0 є К0, [и{і) - х(/)] є К. Это доказывает, что конус К0 является ^-воспроизводящим. При этом
||гі(0ІІ < ІМ0ІІ,
ТО есть Ко является /Г-нес плющенным конусом.
Приведенные примеры показывают, что несплющенные конусы К0 составляют подмножество /С-Несплющенных конусов Ко.
2.5. Свойство К-несплющенности К-воспроизводящих конусов.
Ясно, что каждый /Г-несплющенный конус является /^-воспроизводящим конусом. В случае К= Ко, как известно [15], справедливо и обратное утверждение: всякий воспроизводящий конус является несплющенным. Для пространств с двумя конусами при дополнительном предположении о том, что Ко с К также доказан [30] аналог этого результата: если конус Ко является К-воспроизводящим, то он является /С-нссплющенным. В этом пункте мы установим, что этот результат остается в силе и в общем случае, то есть при любом взаимном расположении конусов К0 и К.
Теорема 1.4. Всякий К-воспроизводящий конус Ко является К-несплю-гценным.
Доказательство. Представим все пространство Е в виде объединения не более, чем счетной совокупности слагаемых