Исследование обратимости разностных операторов методами спектральной теории упорядоченных пар операторов

• Автор: Песковатсков, Виктор Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 100 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Условные обозначения
Введение
Глава 1.
Элементы спектральной теории пар операторов
и обратимость разностных операторов
§ 1.1 Некоторые сведения из спектральной
теории пар линейных операторов
§ 1.2 Об обратимости разностного оператора
с постоянными коэффициентами
§ 1.3 Об обратимости разностного оператора
с переменными коэффициентами
§ 1.4 Об обратимости замкнутого разностного оператора взвешенного сдвига
с переменными коэффмщёйтамц
Глава 2.
Обратимость и фредгольмовость разностных операторов
взвешенного сдвига и экспоненциальная дихотомия
§ 2.1 Экспоненциальная дихотомия
на бесконечности
§ 2.2 Условия обратимости и фредгольмовости оператора V и структура ядер операторов
V г V
§ 2.3 Структура образов операторов V к V*
Литература

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
й - поле действительных чисел;
С - поле комплексных чисел;
% - группа целых чисел;
Т - множество точек, расположенных на единичной окружности комплексной плоскости;
р(Л,В) - резольвентное множество пары линейных операторов (А, В);
сг(А, В) = С р(А, В) - спектр пары линейных операторов (А, В);
С = С U {оо} - расширенная комплексная плоскость;
а(А,В) - расширенный спектр пары линейных операторов (А, В);
р(А, В) = С а(А,В) - расширенное резольвентное множество пары (А, В);
X - комплексное банахово пространство;
EndX - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в X;
U(n,m),n < т - семейство эволюционных операторов на группе целых чисел Z;
1р = /,,(А,Х).р < оо - банахово пространство двусторонних последовательностей векторов из X, суммируемых со степенью р;
1<х> = 1ас(%, А) - пространство двусторонних ограниченных последовательностей векторов из X :
Hom(X,Y) - банахово пространство линейных ограниченных операторов, определенных на X со значениями в Y;
EndX = Нот(Х,Х)
C(X,Y) - множество линейных замкнутых операторов с областью определения в X и со значениями в Y;
X = (Х(п),п Е Z), У = (Y(n),n £ Z) - двусторонние последовательности комплексных банаховых пространств с №щр"нормами;

1р(Ж,Х) - банахово пространство таких х £
что х £ X, х(п) £ Х(п), п £ 1 и суммируемых со (ограниченных при р = оо) т.е. (С^=-оо 11ж(,г)||р < 00■
1,(2, X),
степенью р

Замечание 1.1.5. В случае X = У, В = I оба равенства (1.1.16) превращаются в равенство (А — Л/)-1 = —А-1(/ — А-1 Л)-1.
Теорема 1.1.3. Множества а(Л, В), а (В, А) связаны соотношением
а(В,Л) = {~1: А е<т(АВ)}.
<1 Во-первых, А е р(А, В) -Ф=4> 1/А е р(В,А). Если 0 ^ а(А,В), то из равенства Двд(А) = — А_1Дд,в(А-1) следует, что функция Вв,л Допускает голоморфное расширение в точку оо, причем Вв,а{°°) = 0, т.е. со ф о(В,А). Пусть теперь оо £ а(А.В), тогда из равенств
п„ = -у~хВлАр~1)^ яа,в(°°) = О
при V —} 0 находим, что существует предел равный Яв,д(0), т.е. ,0 а(В,А). Теорема доказана. >
В предположении, что оператор А непрерывно обратим, введем в рассмотрение подобные ненулевые операторы
П = А~1В € ЕпАХ, Г. = ВА~1 6 ЕпдУ,
а в предположении, что оператор В непрерывно обратим, введем в рассмотрение подобные ненулевые операторы
5 = В~1А € ЕЫХ, Т = АВ~1 6 ЕпйУ,
Из определения множества а (А, В) вытекает Теорема 1.1.4. Имеют место следующие утверждения:
1° 0 ф а(А,В) <=$ А непрерывно обратим;
2° оо ^ а(А,В) В непрерывно обратим;
3° 0 - единственная точка в а(А,В) В непрерывно обратим и операторы 5, Т квазинильпотентны;
4° оо - единственная точка в а(А,В) 4=4- А непрерывно обратим и операторы П, Г квазинильпотентны.