Некоторые случаи решения задачи Маркушевича в замкнутой форме

• Автор: Патрушев, Алексей Алексеевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Челябинск
• Количество страниц: 138 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Задача Маркушевича для единичной окружности

1.1 Сведение задачи Маркушевича к матричной краевой задаче Р 11-

мана

1.2 Явное построение факторизации С(1)

1.3 Решение однородной задачи Маркушевича

1.4 Решение неоднородной задачи Маркушевича

2 Четырехэлементная задача Маркушевича для единичной окружности

2.1 Постановка задачи

2.2 Факторизация матрицы б*(4)
2.3 Однородная задача Маркушевича
2.4 Неоднородная задача Маркушевича
2.5 Алгоритм точного решения четырехэлементной задачи Марку-
шевича с рациональными коэффициентами и его програмная реализация
3 Задача Маркушевича в классе автоморфных функций
3.1 Предварительные сведения
3.2 Постановка задачи Маркушевича в классе автоморфных функций
3.3 Однородная задача Маркушевича в классе кусочно аналитических функций

3.4 Неоднородная задача в классе кусочно аналитических функций
3.5 Однородная задача Маркушевича в классе автоморфных функций
3.6 Неоднородная задача Маркушевича в классе автоморфных функций
Заключение
Список использованных источников
Приложение

Введение
Предлагаемая работа посвящена разработке методов решения трехэлементной и четырехэлементной граничных задач линейного сопряжения теории аналитических функций
а(*)*/>+(£) + + f{t). (0.0.1)
Трехэлементная задача
Ф+(г) = а(ь)ф-(ь) + ь(г)ф-(г) + /(*), (0.0.2)
была поставлена в 1946 году А.И. Маркушевичем [20]. Как к трехэлементной, так и четырехэлементной задаче Маркушевича, приводятся многие прикладные задачи: задача расчета электрических полей [ 10], [28], теории гетерогенных сред [29], [52], теории фильтрации [27], теории оболочек [7] и задачи других разделов механики и физики. Наиболее сильные результаты впервые были получены Л.Г. Михайловым. В своей работе [23] Л.Г. Михайлов при исследовании задачи (0.0.2) в классе кусочно аналитических функций различал три случая: случай эллиптичности, когда |а(£)| > |&(£)|, гиперболичности |а(£)| < Ь), и параболичности [а(£)| = [&()]. В последнем случае задача (0.0.2) сводится к двум задачам Гильберта. Используя принцип сжатых отображений, Л.Г. Михайлов в эллиптическом случае предложил приближенное решение задачи (0.0.2), определив число решений и условий разрешимости. Некоторые частные результаты относительно разрешимости задачи в гиперболическом случае были получены в работах Б.В. Боярского [5], Ф-Д. Берковича [4], И.Х. Сабитова [34, 35].
Вопросами устойчивости и разрешимости задачи, как трехэлементной, так и четырехэлементной занимались Г.С. Литвинчук [18], [19, гл 5], И.М. Спит-

4. Коэффициенты cki,
5. Ранг г теплицевой матрицы Тдг и многочлены R{z), Ri{z), fi(z), {z) из определения 2 существенных многочленов.
Данные 2-5 определяются явным образом методами линейной алгебры. Если многочлены p(z) и q(z) имеют коэффициенты из поля Q(i), то указанные данные могут быть найдены точно средствами компьютерной математики с использованием только рациональной арифметики. В этом случае мы можем говорить о точном построении факторизации Винера - Хопфа G(t).
1.3 Решение однородной задачи Маркушевича
Выясним теперь как с помощью канонической матрицы X(z) найти множество всех симметричных решений однородной матричной задачи Рима-на (1.1.3). Как выше указывалось, это множество является конечномерным пространством над полем R, и, значит, нам необходимо построить базис
кусочно аналитические функции <рх(г)
Напомним вначале как строится базис пространства решений однородной матричной задачи Римана. Если частные индексы неположительны, то
однородная задача (1.1.3), а значит, и однородная задача (1.1.2) допускает в классе исчезающих на бесконечности кусочно аналитических функций только нулевое решение.
Если среди частных индексов имеются положительные, то размерность А пространства (над С) решений однородной задачи (1.1.3) совпадает с суммой положительных частных индексов. При этом, если >С > 0, з<2 < 0, то базисом этого пространства является система кусочно аналитических векторов Х1(г), гХ1(г)
этого пространства. Тогда, очевидно,