Некоторые свойства соболевских функций на винеровском пространстве и их приложения

• Автор: Шапошников, Александр Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 49 с.

Содержание
Введение

Глава 1. Приближения векторных полей

1.1. Определения и примеры

1.2. Теорема Альберти для винеровского пространства

Глава 2. Продолжение соболевских функций

2.1. Определения и примеры

2.2. Конструкция //-открытого II выпуклого множества и соболевской функции без продолжения на все пространство .

Глава 3. Дифференцируемость в смысле Скорохода

3.1. Определения и примеры

3.2. Характеризации дифференцируемости в смысле Скорохода

3.3. Конструкция недиффереицируемой в смысле Скорохода меры, для которой все функции I ц(А + £) абсолютно непрерывны
Литература

Введение
Общая характеристика работы Актуальность темы.
Анализ на классическом пространстве Винера и его абстрактном аналоге — абстрактном винеровском пространстве, фактически представляющем собой гауссовскую меру на сепарабельном банаховом пространстве с выбранным в качестве «касательного пространства» подпространством Камерона-Мартина, стал популярен после появления известной работы J1. Гросса1. Подробную библиографию можно найти в книгах2,3,4. Соболевские классы для бесконечномерных пространств с гауссовской мерой были введены в начале 70-х годов прошлого века в работах H.H. Фролова0, позже они рассматривались в работах JI. Гросса6, Б. Ласкара7, но особую популярность приобрели после появления исчисления Малля-вена8. Изучению различных свойств соболсвских функций на бесконечномерных пространствах посвящено большое количество работ. В бесконечномерном случае появляется много новых трудностей и особенностей. В частности, многие классические результаты и конструкции, такие как теоремы вложения, теоремы о покрытии, максимальные функции, гладкие разбиения единицы, широко используемые при исследовании Соболевских функций на конечномерных пространствах, оказываются неприменимы. Важной особенностью соболсвских классов по гауссовской мере
1L. Gross Potential theory on Hilbert space. J. Funct. Anal. 1967. V. 1, JV92. P. 123-181.
2В.И. Богачев Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэпа. НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Москва - Ижевск, 2008.
3В.И. Богачев Гауссовские меры. Наука, М., 1997.
4A.S. Üstünel An introduction to analysis on Wiener space. Springer, 1995.
5H.H. Фролов Теоремы вложения для пространств функций счетного числа переменных I. Тр. Ин-та матем. Воронеж, ун-та. Изд-во Воронеж, ун-та. 1970. Вып. 1. С. 205-218.
6L. Gross Logarithmic Sobolev inequalities. Amer. J. Math. 1975. V. 97, JVM. P. 1061-1083.
7B. Lascar Propriétés locales d'espaces de type Sobolev en dimension infinie. Comm. Partial Dif. Equat. 1976. V. 1, JV*6. P. 561-584.
8P. Malliavin Stochastic calculus of variation and hypoelliptic operators. Proc. Intern. Symp. on Stoch.
Diff. Eq. (Res. Inst. Math. Sei., Kyoto Univ., Kyoto, 1976). P. 195-263.

является их инвариантность относительно измеримых линейных изоморфизмов, в связи с чем пространства с весьма различными геометрическими свойствами обладают одинаковым запасом соболевских функций, подробное обсуждение этого вопроса можно найти в книге3. В идейном отношении анализ па винеровском пространстве весьма близок к возникшей несколько ранее теории дифференцируемых мер, которая была предложена С.В. Фоминым9, а затем развивалась многими авторами (первые обзоры см. в работах10,11, а современное состояние этой теории представлено в книге2). Дифференцируемые по Фомину меры можно рассматривать как бесконечномерный аналог мер с плотностями из класса Соболева. Аналогом же мер с плотностями ограниченной вариации оказываются несколько позже введенные меры, дифференцируемые по Скороходу12. Последние также рассматриваются в этой диссертации. Отметим, что ряд важных результатов по дифференцируемости Скорохода получен Е.П. Круговой13,14.
Еще одним важным объектом анализа на винеровском пространстве оказывается оператор дивергенции. Определение дивергенции векторного поля со значениями в пространстве Камерона-Мартина гауссовской меры естественным образом обобщает понятие дивергенции в смысле обобщенных функций в конечномерном случае. В работах М. и П. Кре15 и Б. Гаво16 было доказано существование дивергенции для соболевских
9С.В. Фомин Дифференцируемые меры в линейных пространствах. Успехи матем. наук, 19G8, Т. 23, т, С. 221-222.
10В.И. Авербух, О.Г. Смолянов, С.В. Фомин Обобщенные функции и дифференциальные уравнения в линейных пространствах. I. Дифференцируемые меры. Тр. Моск. матем. об-ва. 1971, Т. 24. С. 133-174.
ПЮ.Л. Далецкий, С.В. Фомин Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах. Наука, М., 1983.
12А.В. Скороход Интегрирование в гильбертовом пространстве. Наука, М., 1975.
13Е.П. Кругова О дифференцируемости выпуклых мер. Матем. заметки. 1995. Т. 57, JV«6. C. 8G2-871.
14Е.П. Кругова О сдвигах выпуклых мер. Матем. сб. 1997. Т. 188, №2. C. 57-G6.
15М. Krée, P. Krée Continuité de la divergence dans les espaces de Sobolev relatifs à l’espace de Wiener. C. R. Acad. Sei. 1983. T. 29G, Ж20. P. 833-834.
16B. Gaveau, P. Trauber L’intégral stochastique comme opérateur de divergence dans l’espace fonctionnel. J. Funct. Anal. 1982. V. 46, №2, P. 230-238.

при всех т и достаточно больших п, откуда х + кп €. К — противоречие. Ясно, что 7(К) > 0, так как гауссовские меры множеств Кт быстро стремятся к единице.
Каждая построенная выше функция /т на плоскости порождает обозначаемую тем же символом функцию на пространстве М°°, отождествляемом со счетной степенью плоскости, действующую по формуле
/т(х) = /т(.Х-га)-
Мера 7 на М°° также рассматривается как счетная степень стандартной гауссовской меры па плоскости. В силу леммы достаточно установить, что С(/т) > ст1/р. Остается заметить, что если функция д 6 ¥р,1(у) продолжает /т, то при почти каждом фиксированном у = (у?фу Функция дт оставшейся переменной хт дает продолжение функции /т и потому имеет место оценка
I №Фу>с0т I |У/т|М
с некоторой постоянной с0, что дает требуемое. Если вместо //-открытости нужна компактность К, то можно взять выпуклый компакт П=1 где Кт — замыкание Кт. Отметим, что наше построение не дает явного примера функции без продолжения. □
Замечание 2.2.1. Перейдя к сужению меры 7 на гильбертово пространство Ь, мы получаем открытое в Ь выпуклое множество К положительной меры, на котором при каждом р £ [1, +оо) есть функция из класса ¥Р'1{К, 7) без продолжений до функции из И'/;,’1(7). Ясно, что этот же пример можно реализовать и на подходящем большем весовом гильбертовом пространстве последовательностей, в котором К будет нредком-нактно. При этом можно скомбинировать //-открытость К с относительной компактностью.
Для произвольной центрированной радоновской гауссовской меры 7 на локально выпуклом пространстве X, имеющей бесконечномерное пространство Камерона-Мартина //, из доказанного следует существование