Асимптотика спектра и следы негладких возмущений дифференциальных операторов

• Автор: Ахмерова, Эльвира Фангизовна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 116 с.

1. Асимптотика спектра негладких возмущений
дифференциальных операторов
1.1. Постановка задачи
1.2. Асимтотика спектра обыкновенных
дифференциальных операторов на отрезке
1.3 Представление ядра резольвенты гармонического осциллятора
1.4. Асимптотика решений гармонического осциллятора
1.5. Асимптотика ядер Вол(хДД) , В^„(хдД) , ВДхдД), В*(хдД) в окрестности собственных значений
1.6. Асимптотика спектра гармонического осциллятора, возмущенного негладким потенциалом
2. Формулы следов
2.1.Формула регуляризованного следа типа Крейна
для гармонического осциллятора
2.2.Формула регуляризованного следа типа Гельфанда - Левитана
для гармонического осциллятора
2.3. Формулы регуляризованных следов для обыкновенных дифференциальных операторов
Список литературы

Важным разделом общей спектральной теории операторов является спектральная теория дифференциальных операторов. Результаты полученные в этой области, находят многочисленные применения при исследовании задач математической физики. В частности, в задачах квантовой механики часто рассматриваются дифференциальные операторы с дискретным спектром, заданные на бесконечном интервале. При этом распределение собственных значений - один из изучаемых вопросов.
Изучению дифференциальных операторов с дискретным спектром посвящено большое количество работ. Начало изучению этого вопроса было положено в 30-х годах XIX века в работах Штурма и Лиувилля [1], [2], в которых был рассмотрен оператор второго порядка на конечном интервале и с непрерывными коэффициентами (так называемый регулярный случай). Многочисленные задачи на определение энергетических уровней конкретных квантовомеханических систем явились толчком, спустя столетие, появлению работ по указанной теме в сингулярном случае (когда не выполняется одно или оба условия регулярного случая). Начало спектральной теории для сингулярных операторов было положено в работах Г. Вейля [3], [4] и в дальнейшем был развит в монографиях Э.Ч. Титчмарша [5], [6]. Им же в [7] впервые была строго обоснована формула распределения числа собственных значений оператора Штурма-Лиувилля на всей оси. Работы Г. Вейля и Э.Ч. Титчмарша явились причиной появления огромного количества работ, связанных исследованием распределения собственных значений дифференциальных операторов с дискретным спектром. В последствии свое развитие получили два основных метода получения спектра. Первый из них - вариационный принцип, восходящий к работам Г. Вейля и Р. Куранта [8]. В последствии он был развит М.Ш. Бирманом и его школой (см. обзор [9]). Преимущество вариационного принципа в том, что он не столь чувствителен, как другие методы, к гладкости коэффициентов, границы области и т.д. С другой стороны, он не дает достаточно точных оценок в асимптотике собственных чисел. Второй метод

называется резольвентным и восходит к работе Т. Карлемана [10]. Он связан с изучением резольвенты рассматриваемого оператора или другой функции от него с последующим использованием тауберовых теорем. С этим методом связаны наибольшие достижения последних лет в области спектральных асимптотик. К этому методу примыкают предложенный В.Г. Авакумовичем в [11] и Б.М. Левитаном в [12] метод гиперболического уравнения, а также метод параболического уравнения, предложенный С. Минакшисундарамом и
А. Плейелем в [13], соответствующих исследуемым операторам. Достаточно полный обзор различных вопросов спектральной теории дифференциальных операторов дан в [14], там же можно найти подробную библиографию по этой тематике.
К настоящему времени разработаны достаточно много методов нахождения асимптотики спектра дифференциальных операторов, в основном на отрезке. Для задачи Штурма-Лиувилля на отрезке также решен вопрос об асимптотическом представлении собственных значений в случае негладких потенциалов [15] и даже для потенциалов, содержащих 5— функцию [16]. Что касается дифференциальных операторов с дискретным спектром, заданных на бесконечном интервале, то этот вопрос впервые подробно изучался Муртазиным Х.Х. и Амангильдиным Т.Г. в работе [17] для задачи Штурма-Лиувилля на полуоси. В этой работе получена асимптотика собственных чисел в предположении степенного роста потенциала д(ж), т.е. д(х) = ха + У(х), где а— положительное число, У(х)— финитная, дважды непрерывно дифференцируемая функция. В работе Е.В. Александровой [18] рассматривается задача Штурма-Лиувилля на полуоси в случае возмущенного гармонического осциллятора: Ну = уу, у(0) = 0, у е Ь2[0, оо), где
Ну{х) = Н°у(х) + У(х)у{х) = -у"(х) + х2у(х) + У(х)у(х), возмущение У(х)— гладкое но не предполагается финитным.
В настоящей работе используется метод, предложенный Муртазиным Х.Х., основанный на асимптотическом представлении части Я^(ж,1,А) = Я°(£,£, А) - (Ап — А)~1Рп(хН) ядра резольвенты Я°(А) невозмущенного оператора Н°, где Ап— собственные значения оператора Я0, Рп— соответствуПри малых значениях аргумента z (см. [46], стр.139, 148) имеем следующие оценки
WzKv{z) Итак, при малых значениях г из (1.4.20), (1.4.20'), (1.4.21), (1.4.21'), (1.4.22) непосредственно видно, что
WWl Аналогично, дифференцируя 7'k(z), нетрудно убедиться, что
zS'k(z) < c2z1/(i (1.4.24)
При |т — 1| < С А-2/3 (см. [14]) функция Q(r, 1) удовлетворяет оценке
Q(t, 1)| < СоА-1. (1.4.25)
Поэтому при |т — 1| < Л-2/3 будем иметь
|Q(t,1K(AC?(t,1))|<^, (1.4.26)
|(Q(r,l))4PÔ(r,l))|<^, (1.4.27)
Исследуем поведения функций 7[(z) и 72(z) при больших значениях аргумента 2. Асимптотические представления цилиндрических функций для больших значений аргумента (см. [46]) имеют вид
Jv(z)
2 ( УЖ 7Г / о/2
cosfz- — --)+0(z 3/),
жг V 2

ед=/|е-(1+о(г-^)).
Воспользовавшись ими, из (1.4.20), (1.4.20'), (1.4.21), (1.4.21') получаем
Ti(A<3(s, 1))
14Алд,(щ) + 0 (л_2(5Г2(а 1)), AQi(s,1) -4 +00; 4
l_^sin(A<5(s’1)_f) + C)(A_1<5~1(s>1)) AÇ(s, 1) ^+00,