Распределение нулей аналитических почти периодических векторных полей и диаграммы Ньютона

• Автор: Гельфонд, Ольга Александровна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 90 c. : ил

ВВЕДШИЕ

ГЛАВА I. СРЕДНИЙ ИНДЕКС ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ВЕКТОРНОГО

ПОЛЯ

§ I. Индекс и кратность векторных полей на

множестве. Предварительные сведения

§ 2. Особые точки вещественных почти периодических векторных полей. Определения, формулировки
результатов
§ 3. Существование среднего индекса вещественного почти периодического векторного поля и оценка

остаточного члена (доказательства теорем)

§ 4. Корни комплексно-аналитической почти периодической системы уравнений

§ 5. Оценка размерности аналитических подмножеств

ГЛАВА 2. КОРНИ СИСТШ КОНЕЧНЫХ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ СУММ
§ I. Конечные суммы экспонент. Определения и
формулировки
§ 2. Экспоненциальное отображение Веронезе
§ 3. Экспоненциальные вектор-функции с набором
одинаковых спектров нулевого ранга
§ 4. Среднее число нулей экспоненциального векторного
поля с различными спектрами компонент
ГЛАВА 3. КОРНИ ПРАВИЛЬНО ЗАПЕРТЫХ СИСТШ ГОЛОМОРФНЫХ ПОЧТИ
' ПЕРИОДИЧЕСКИХ-УРАВНЕНИЙ..;
§ I. Почти периодические функции на и (Г
предварительные сведения

§ 2. Правильно запертые системы голоморфных почти
периодических уравнений
§ 3. Среднее число корней правильно запертой системы
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Диссертация посвящена изучению распределения нулей вещественных почти периодических векторных полей и корней систем голоморфных почти периодических уравнений.
Исследование распределения нулей целых функций - хорошо разработанная область теории функций комплексного переменного. Классическим результатом по распределению нулей целой функции одного комплексного переменного является теорема о среднем числе корней голоморфной почти периодической функции класса Д
Эта теорема может быть обобщена на голоморфные почти периодические вектор-функции многих комплексных переменных. При этом обобщении существенную роль играют геометрические свойства индикаторных диаграмм компонент вектор-функции. Ситуация здесь оказывается в значительной степени параллельной той, которая возникает в алгебраической геометрии, когда в основу изучения многочлена многих комплексных переменных кладется многогранник Ньютона.
Многоуольники Ньютона были введены и использовались И.Ньютоном для решения алгебраических уравнений, а поздщее использовались рядом авторов для построения рядов Пюизо в теории дифференциальных уравнений. Многогранники Ньютона впервые появились, по-видимому, в работах Ходжа 1934 года.
В работах А.Д.Брюно многогранники Ньютона систематически использовались для вычисления степенных асимптотик решений нелинейных систем дифференциальных уравнений.
Начиная с 1974 года многогранники Ньютона начали интенсивно использоваться в алгебраической геометрии и теории особенностей дифференцируемых отображений. В терминах геометрии многогранников Ньютона вычислялись всевозмодные локальные и глобаль-

кая, что 1^1 -*'7°при ] "^ °°» Р - вектор функция из М и
^5-0 при з .
Тогда: I. Найдется вектор оС из о такой, что некоторая подпоследовательность последовательности Р л / тл№) СХОДИТСЯ к нулю при 3 °°
2. Найдется точка ССо из 1Я<з (£п и найдется вектор р> из ОЛ
такие, что Рр С^С*) = 0 Доказательство I. Пусть о1 - предельная точка последовательности {*М=Ч|) . Мы считаем здесь, что последовательность сходится к своей предельной точке.(в противном случае выберем сходящуюся к ней подпоследовательность). Докажем, что(Хд)^ при 3 _^'с0 • Разложим <Х} в прямую сумму
х^ =о1^ , где (а) ?я)=о
Очевидно, ЧТО 0-5 - О ОЦ}) .
Обозначим то.Х<Х,с1> через .
Тогда Рл(Х|) • РхСО-]) (см. г § I гл.П)
и “ вОСр ) . Последовательность
} стремится к нулю при 3 ->°о 5 _Д__ конечное множество, поэтому существует такое £>0.,чюдля достаточно больших 0 и любых и ЗсА/А^ верны неравенства
с Я ,<*.+ аз ЧЕ
Следовательно,
ехр<^^,'> _ * _
Г —> О при и
еоср <
ерс. р < ^ ^ 0 При 3 —>схэ
ехр Поэтому