Неподвижные точки отображений и геометрические свойства пространств

• Автор: Гулевич, Николай Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 92 c. : ил

Список обозначений

§ 0. Предварительные сведения

ГЛАВА I

МЕРЫ НЕЕЫПУКЛОСТИ И ЧЕШШЕВСКИЕ РАДИУСЫ

§ I. Меры невыпуклости множеств

§ 2. Оценка чебышевского радиуса множеств в гильбертовом

пространстве

ГЛАВА

ТЕОРЕМЫ О НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧКАХ В ЛИНЕЙНЫХ НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

§ 3. Две теоремы о неподвижной точке

§ 4. Отображения, уменьшающие меру невыпуклости

§ 5. Приложение к нелинейным интегральным уравнениям
ГЛАВА
УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
§ 6. Условия типа Роте
§ 7. Условие Фрум - Кеткова
§ 8. Отображения, направленные внутрь
§ 9. Минимальное перемещение
ЛИТЕРАТУРА

Список обозначений
0 - пустое множество;
IN - множество натуральных чисел;
IR - множество вещественных чисел;
Ц0 - множество неотрицательных вещественных чисел;
Ц0 - -мерное вещественное евклидово пространство;
- вещественное гильбертово пространство;
^ - вещественное линейное нормированное пространство с нормой II • II ;
dim X - размерность пространства X I 0 - произвольное непустое ограниченное выпуклое и замкнутое
подмножество X ;
V(*X) = { $бХ : Ilf'XII < Г};
Мах) = {уеХ : Iу 'Л1 ^ X};
V = V(o,L)j
Ь(*,х) = if^X : ну. -Л If
S - S (о, *);
Х(А)- семейство всех ограниченных подмножеств множества
_ /UX,
Д - замыкание множества А в нормированной топологии;
70 - замыкание множества / в слабой топологии;
ini/ - внутренность множества А в нормированной топологии;
3/| = Д Л/Х4)“ гРандЩа множества Д ;
Со А - выпуклая оболочка множества А ;
со А - замкнутая выпуклая оболочка множества А ;
[ В] ~ [А ° В : /А = /l j. = В } " база множества В;

А(х,/Ь = '|Ни х- у« - расстояние от точки X до множестаеД л
ва Л ;
= || х -^|| - расстояние между множествами Д
ХеЕ^еЛ и £
сКА) = х- у|| - диаметр множества / ;
<зС(^) - $ 1Л Р с1 (*/ А) “ меРа- невыпуклости Старра множества
хесоД ' Д
^•/Д)= 1И£ II Х-^(( _ чебышевский радиус множества А ;
хел уьА
ьи.р|х-^И = ^^/1)}- чебышевский центр множества

(Х,^) = |х+Ь(у-х); о<-Ь^1] - интервал с концами в X, ^ ^ А )
(^] ={х+-ЫЯ'Ю; 0<£^1} - полуинтервал;
[Х5Й-{Х + т^;0^1} - отрезок;
(Х^}=0^+Ч- луп.

Ае[В],
Зафиксируем & -6/7]) >0 . Тогда £ - границей А
называется множество
97 = и{ /1 ; х е(ЗВ)'>/1 },

д£ I п 9/1, если
/(Х, с/х) П 9/1 7^
~ \/л4+ы^ЭА1если V (х, 4) л ЗА
Если Д ^ ЭВ , то, по определению, 9 7=0- Можно предполагать, что £ = £(х) У' 0 есть функция от X 6 ( 3 В)
Если Д есть множество существования, то Д^ = р ^ для любого х 6 ($В)чД
По определению, £ - граница Д есть та часть границы А , что для всякого X е($ВЬ А существует последовательность С- 871 такая, что ЦХ^'ХИ —^ с1(*/А)
этом другая часть границы Д (возможно значительная) нас не интересует.
О талетим очевидный факт: если АфдВ , то для любого X
6 (9ВН о1(х,А) - (/(X, 3 А) = с1сх,/).
Нам понадобится множество
9/1 «98=А а 9В , где А6 [В].
Спрашивается: в каких пространствах X множество
А п9 В # 0 ? Убедимся, что в банаховом пространстве
)( , обладающем свойством Радона - Никодима (в частности, в гильбертовом), А п дВ*0 . Действительно, нетрудно показать, что в произвольном л.н.пр. X 96 в [б] для любого ЕеГВ];ВсХ- Но тогда, в силу определения пространства, обладающего свойством Радона - Никодима,