Разрешимость многомерных интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами компактного типа

• Автор: Мирошникова, Елена Игоревна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 140 с.

Введение
Актуальность темы. Изучение одномерных интегральных операторов с однородными степени (—1) ядрами, действующих в Д-пространствах, было начато Г. Харди и Дж. Литтлвудом. Далее теория таких операторов получила развитие в работах Л.Г. Михайлова, Н.К. Карапетянца, С.Г. Самко, Р.В. Ду-дучавы, Я.Б. Рутицкого и др. Существенным при исследовании одномерных операторов с однородными степени (—1) ядрами являлась редукция к одномерным операторам типа свертки с суммируемыми ядрами. Данная связь позволила использовать результаты, полученные для операторов типа свертки, в теории одномерных операторов с однородными ядрами.
Многомерная ситуация оказывается сложнее и нуждается в принципиально других подходах. Впервые многомерные интегральные операторы с однородными степени (—гг) ядрами в пространстве Ьр(Шп), где 1 < р < сю и п ^ 2, появились в работах Л.Г. Михайлова в конце 60-х годов. Достаточные условия ограниченности таких операторов, а при неотрицательности ядра являющиеся и необходимыми, были получены Н.К. Карапетянцем. Вопросам разрешимости многомерных интегральных операторов с однородными степени (—га) ядрами и переменными коэффициентами посвящены работы Н.К. Карапетянца, С.Г. Самко, О.Г. Авсянкина и других авторов. При исследовании вопросов разрешимости многомерных интегральных операторов на ядра помимо однородности накладывалось дополнительное условие инвариантности относительно диагонального действия SO[n) — группы вращений пространства Мп. Это позволяло значительно облегчить задачу и в определенном смысле свести её к одномерному случаю. В.М. Деундяком рассмотрен новый широкий класс ядер компактного типа, включающий в себя 50(га)-инвариантные ядра. В доказательствах существенную роль играет пространственный изоморфизм

подобия операторов с однородными ядрами компактного типа и операторов свертки с компактными коэффициентами. Отметим, что операторы с однородными ядрами в весовых пространствах практически не рассматривались. Исключение составляет лишь степенной вес. Однако, этот случай практически сразу сводится к безвесовому.
В представленной работе рассматривается обобщение класса однородных функций — новый класс функций, удовлетворяющих условию анизотропной однородности, и исследуется класс интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами как в безвесовых, так и в весовых Д-пространствах. Интерес к таким операторам продиктован, в частности, их естественной связью с операторами многомерной мультипликативной свертки. Помимо этого аппарат теории многомерных интегральных операторов с однородными и анизотропно однородными ядрами оказывается удобен при решении задач со сложными особенностями (B.C. Рабинович), находит приложения в механике (Р.В. Дудучава), в теории операторов, инвариантных относительно растяжений (И.Б. Симоненко).
Как уже упоминалось выше, в работе при исследовании разрешимости операторов с анизотропно однородными ядрами широко используются результаты из теории операторов свертки. Операторы свертки с момента их появления были и остаются актуальным предметом исследования. Это объясняется как внутренними потребностями различных областей математики, где они возникают (гармонический анализ, теория линейных операторов, теория вероятностей, дифференциальные и интегральные уравнения), так и прикладным значением. Изучение различных операторов свертки началось в работах У. Юнга, Д. Гильберта, А.Н. Колмогорова, Е. Титчмарша, М. Рисса, Г. Харди, Дж. Литтлвуда, C.JI. Соболева и других авторов. Различные методы и примеры операторов свертки, ограниченно действующих в Бр-пространствах, рассматривались в работах Ж. Марцинкевича, А. Кальдерона и А. Зигмунда, И. Хиршмана, С.Г. Михлина, JI. Хермандера, И. Стейна, Ч. Феффермана, С.Г. Самко, Н.К. Карапетянца, А.Н. Карапетянца, А.Г. Баскакова, В.Б. Короткова и многих других. Значительный вклад в теорию операторов свертки был

внесен И.Б. Симоненко. С помощью локального метода им полностью изучена разрешимость операторов из алгебр, порожденных свертками с вполне суммируемыми ядрами. Отметим, что локальным методом Б.Я. Штейнбергом исследована фредгольмовость сверток со слабо осциллирующими коэффициентами на локально компактных группах, а компактификация, впервые возникшая в теории индекса таких операторов (В.М. Деундяк, Б.Я. Штейнберг), в более общем контексте использовалась в различных топологических задачах (Н. Хигсон, А.Н. Дранишников, С. Ферри и др.).
Исследование свойств операторов свертки, действующих в шкалах пространств, в частности, в шкале Соболева, нашло отражение в теории псевдо-дифференциальных операторов. Впервые они были введены в работах Дж.Дж. Кона, Л. Ниренберга и Л. Хермандера, далее их исследование продолжили такие ученые как Г.О. Кордесс, М.Е. Тейлор, Ф. Трев и многое другие. Псев-додифференциальные операторы на группе R+ с коэффициентами изучаются в работах Б.А. Пламеневского, применению техники предельных операторов в теории псевдодифференциальных операторов посвящены книги B.C. Рабиновича. В настоящей работе рассматривается вопрос об изучении свойств операторов с анизотропно однородными ядрами, действующих в шкалах пространств соболевского типа.
Цель работы. Исследование разрешимости многомерных интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами в безвесовых пространствах суммируемых функций, а также в Бр-пространствах с полумультипликатив-ными весами и в шкалах гильбертовых пространств.
Задачи работы.
• Получить условия ограниченности многомерных интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами в безвесовых пространствах Lp, в Lp-пространствах с полумультипликативными весами, в шкалах пространств соболевского типа.
• Построить символическое исчисление для алгебр, порожденных такими операторами как в безвесовом, так и в весовом случае. В терминах символа сформулировать и доказать критерии обратимости для элементов

то по лемме 1.
Є Ьі(Шк).
Следовательно, йп_і-Р(Ь^) = СУпі Н) — оператор свертки с ядром из Ьі(Шк). Тогда
йп-1 -Ли) = («п-із, ® ІСІДР(Т„_1))(41) О А®) = С'и„_11(/-) ® 42)-
Таким образом, йп-рр(Я}%р) С УДМ*) © /Ср(Тп_і), где 53°'р — множество операторов вида (1.14) с ядрами из бДр = Л4(п;р)0Тоо(Т^_1). Аналогично доказывается, что йп -1;р(^0(^)©^р(тп-1)) С 53£(р. Получаем, что йп_і;р осуществляет непрерывное биективное отображение 53^[р на УДМ ) © /Ср(Тп_і). В силу плотности 53©р в 53'пр и УДіД © /Ср(Тп_і) в УДЖ'1) © /Ср(Т„_і) получаем, что ограничение йп_і;р на 53Д задает изоморфизм подобия 53Д на УР(М*)®/СР(Т■
Следствие 1 Ограничение йп_і р на 53 Д задает изоморфизм подобия банаховой алгебры 53Д на банахову алгебру УДР.
Из положения 3) леммы 1.5, следствия 1 и леммы 1.10 вытекает
Теорема 1.3 Ограничение изоморфизма йп^і-рд на 53Д(Ж”) задает изоморфизм подобия р : 53Д (Ж”) —> УД.
1.2.5 Символическое исчисление для 53Д. Обратимость
Символ <7п-р(К) оператора К вида

К = 1 + ^2К^. (1-27)

где Л Є С, ККг — оператор вида (1.6) с ядром из £п;р, зададим равенством

{ап,Р(КШ і) = І + '$2 ©ррі Є Ж&, (1.28)

где изоморфизм ©Рр определяется с помощью (1.20), изоморфизм подобия р построен в теореме 1.3.