Исследования по теории суммирования кратных числовых последовательностей

• Автор: Рабец, Екатерина Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Киев
• Количество страниц: 120 c. : ил

ВВиДЕНИЕ

ГЛАВА I. ДВОЙНЫЕ ЮСЛВДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ МАТРИЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

§ I.I. Некоторые классы двойных последовательностей

§ 1.2. Матричные преобразования двойных последовательностей

§ 1.3. Критерий консервативности и регулярности матричных преобразований некоторых классов двойных последовательностей

§ 1.4. Матричные методы, порождающие сходимость

ГЛАВА 2. СТРУКТУРНЫЕ ВОПРОСЫ МАТРИЧНЫХ МЕТОДОВ УЗКОГО СУММИРОВАНИЙ ДВОЙНЫХ ШСЛЕДивАТЕЯЬНОСТЕЙ §2.1. Об ограниченной совместности методов узкого

суммирования двойных последовательностей

§ 2.2. Усечение регулярных матричных преобразований

некоторых классов неограниченных двойных

последовательностей

§ 2.3. Принцип "подражающих последовательностей" и
его применение для доказательства теорем
теории суммирования
§ 2.4. О полях сходимости (ар) - регулярных матричных
методов суммирования двойных последовательностей
§2.5. Корегулярные и конулевые матричные методы и
некоторые свойства их полей сходимости
§ 2.6. Равномерно с - суммируемые двойные последовательности

§ 2.7. Шля ограниченной с - сходимости множества матриц
§ 2.8. О включении методов суммирования
§ 2.9. Границы обобщенных пределов последовательностей
ЖГЕРАГУРА
Последовательности и ряды - это один из наиболее часто применяемых аппаратов решения задач, одно из наиболее сильных средств классического и современного анализа. При этом нередко оказывается, что ряды, с которыми приходится иметь дело при решении как различных теоретических вопросов, так и задач прикладного характера, являются расходящимися.
В самостоятельную главу анализа теория расходящихся рядов развилась сравнительно недавно. Изучению прежде всего подверглись одномерные рады и последовательности, и, если к настоящему времени об их суммируемости имеется обширная литература, то вопросы суммирования кратных радов и последовательностей до сих пор остаются еще мало исследованными. Вместе с тем заслуживает внимания высказывание А. Зигмунда в предисловии к еп) монографии "Тригонометрические рады" относительно теории кратных радов: "Эта область громадна и многообещающа, и в настоящее время мы, возможно, не представляем себе сферы ее проблем, хотя результаты здесь могут оказаться даже более важными для приложений, чем в случае одного переменного".
Вопросы суммирования кратных радов представляют определенный интерес еще и потому, что переход от одномерных радов к рядам кратным вносит в теорию суммирования значительное своеобразие, вццвигает множество новых проблем. Установлено, что в области кратных радов многие методы суммирования утрачивают регулярность, обычные взаимосвязи между собой и другие свойства, которые характеризуют их в одномерном случае. Эти особенности достаточно полно проявляются уже при рассмотрении двойных последовательностей. По замечанию Челадзе В.Г.[34], при переносе понятий и исследований, относящихся к простым последовательно-

&m (zL aiKmn s - zz a/ smn) = о. (is)
(o()t,K m,n=i tKmn mn min tKtr,n m
▲ Доказательство леммы 4 проводится почти дословным повторением доказательства леммы 3, заменив в нем fern ^ в смысле (а) на lim в смысле ( ).
i,K
Грани усечения матрицы А ^(t,K)= i) ((р и ß(i,K)sß( Заметим, что во всех случаях построенная матрица остается регулярной. Заметим также, что построенные функции J0((j) и |)((р являются функциями двух различных переменных Cj и (j. -Однако, в случаях узкой суммируемости имеет место
ЛЕММ 5. Пусть А = ( CliKrnn ) - ( Ct,c< ) - регулярная усеченная матрица, где о( - один из классов в или с. Тогда
функции= р((р и i)(l,K) = l)f(p можно считать функциями одной и той же переменной, например, Q
А Действительно, выбрав из множества пар (1,к)€ (j с
наименьшим значением одного из параметров - ^ - пару с
наибольшим значением другого, получим, что эти значения связаны соотношением Cj = регулярных матриц утверждение доказано.
Каждая (а,в) - регулярная матрица является (а,с) - регулярной при любом фиксированном А > 1 . Следовательно,
каждому значению А И и ставится в соответствие пара чисел и » или иначе, каждому значению (j_
соответствуют функции и ß((j.7k).T
Докажем теперь, что для двойных последовательностей справедлива
ТЮРЕМ 15. Если А и В - R - методы суммирования двойных последовательностей, d € {Ь, G } и £