Некоторые вопросы теории весовых пространств и приложения к вырождающимся эллиптическим уравнениям

• Автор: Байдельдинов, Бахыт Лаикович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 92 c. : ил

Глава I. ВЕСОВЫЕ ПРОСТРАНСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ

1.1. Теоремы вложения для весовых пространств

1.2. О граничных значениях и о "зануленных" классах

1.3. Пространства ■ЦПР) иГр(з)

Глава II. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ

2.1. Модельная задача

2.2. Аналог первой краевой задачи с однородными

граничными данными

2.3. Вопросы существования и единственности обобщенного решения общей первой краевой задачи

для вырождающегося уравнения

Глава III. РЕГУЛЯРНОСТЬ РЕШЕНИЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

3.1. Теорема о локальной гладкости
3.2. Дифференциальные свойства обобщенного решения первой краевой задачи для вырождающегося уравнения с однородными граничными условиями
3.3. Теорема о гладкости в случае неоднородных краевых условий
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Настоящая диссертация посвящена некоторым вопросам теории весовых пространств дифференцируемых функций многих переменных и приложениям этой теории к исследованию первой краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения. При этом основное внимание уделено указанным приложениям: исследуются вопросы существования и единственности обобщенного решения, вопросы связанные с дифференциальными свойствами этого решения. Попутно получены некоторые результаты дополняющие известные факты теорий весовых пространств; в частности, рассмотрекласс решений в зависимости от гладкости граничных данных.
Краевые задачи для вырождающихся уравнений, интерес к которым вызван их большим прикладным значением, рассматривались многими авторами. Один из плодотворных подходов к исследованию такого рода задач основан на использовании теории весовых пространств. Первые систематические исследования по теории весовых пространств и приложениям этой теории к вырождающимся уравнениям проведены в монографии Л.Д.Кудрявцева /16/. Там, в частности, было исследовано эллиптическое уравнение 2-го порядка со слабил вырождением. Дальнейшее развитие теория весовых пространств получила в работах С.В.Успенского, П.Й.Дизоркина, Г.Н. Яковлева, Я.С.Бугрова, 0.В.Бесова, Я.Кадлеца А.Куфнера, В.Р.Портнова и др. (см.библиографию по этому вопросу в книге /I/ и обзоре /15/ ).
ны пространства
, которые при р =2 характеризуют

Существенный вклад в теорию весовых пространств внесла монография С.М.Никольского /I/, в которой на основании единого метода, разработанного автором (Т.н.метода "регулярных мостов"), получены основные факты теории весовых пространств в ограниченных областях.
Приложениям теории весовых пространств к вырождающимся уравнениям посвящены работы А.А.Башарина, П.И.Лизоркина, Н*В.Мирошна, И.Г.Матвеевой, М.О.Отелбаева, Ю.В.Рыбалова.
Большое значение в развитии методов исследования вырождающихся уравнений на базе весовых пространств имела работа С.М.Никольского /II/. В этой работе были проведены исследования (начатые в заметке /12/) первой краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения высокого порядка. Была доказана теорема существования обобщенного решения, изучены дифференциальные свойства этого решения (в случае уравнения 2-го порядка). В последующих совместных работах П.И.Лизоркина и С.М.Никольского /13/, /14/ эти исследования были продолжены; в частности, была разработана методика позволяющая изучить коэрцитивные свойства решений вырождающихся эллиптических уравнений порядка 2И1 (при > 1).
В настоящей диссертации часть посвященная приложениям к вырождающимся уравнениям представляет собой обобщение и дополнение результатов работ /II/ - /14/.
Диссертация состоит из трех глав.
В главе I содержатся сведения о весовых пространствах дифференцируемых функций, определенных в ограниченной области У] - мерного евклидова пространства И^.И. Границу Г"7
Ч- к а Г Г, оС—И^ + 1ь1 [ ч2 1^Гг <ИИ+Ь‘1 ,* 9 1^2
4 2_ 1Ьи(х)|)оЦ {(^(*0 (Ожх)|)о|ос| £
IЦ 4 Ил 1]4И
(добавим к интегралам в фигурных скобках соответствующие весовые нормы остальных производных)
М 2__ ШидоП^хр- х
1адкуп ЧизЬ
X I (%(к)
1]кт
(учитываем определение нормы в пространстве <х (О ) и полагаем С!' = 2_ Мц)
.< б'И^-Чуг^^^ЧТ-«^ 4(! Ч*
Последнее неравенство следует из того, что при регулярных пара-
*• С?
метрах с< и Sо классы Х/^ы Ц=^) ж Ч ^ сов_
падают с точностью до эквивалентности норм. Лемма 2,2.1 доказана.
Лемма 2.2.2. Пусть параметры с< и $0 - регулярные и форма СКг^) , коэффициенты которой подчинены оценкам (2.2.2), удовлетворяет условию; Существует постоянная Эе > О такая, что для любого набора комплексных чисел (11| = ил) и для каждого ос О. выполнено неравенство
К,£ (Яц С'х)^»^ ^ (ес)2___ (2.2.7)
Ш = 1Л