О коэффициентах Фурье по системе Хаара

• Автор: Робакидзе, Мирза Гиушаевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1993
• Место защиты: Тбилиси
• Количество страниц: 75 с.

ГЛАВА I. О КОЭФФМШЕНГАХ 'ФУРЬЕ НО СИСТЕМЕ ХААРА ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§1.1. Основные обозначения, определения и
вспомогательные утверждения
§ I.?.. О коэффициентах Фурье Функций одной
переменной но системе Хаара
§1.3. Коэффициенты Фурье по системе Хаара от абсолютно непрерывных функтшй
ГЛАВА II. О КОЭФФИЦИЕНТАХ ФУРЬЕ ПО СИСТЕМЕ ХААРА ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 2.1. Некоторые обозначения, определения и
вспомогателыше утверждения
§ 2.2. О коэмЬициенгах Фурье по системе Хаара функций многих переменных
ЛИТЕРАТУРА
Теория ортогональных рядов является одним из классических разделов современного анализа» В этом направлении в настоящее время получени фундаментальные результаты, которые изложены в разных хорошо известных монографиях, учебниках.
Они находят приложение в самых различных вопросах математики, механики и физики.
Ортонормирэванная на отрезке 10ДІ полная в пространстве Цио.п) система функции была построена А. Хааром [32] в 1309 г» Непосредственным поводом для этого послужило хорошо известное свойство тригонометрической системы, состоящее в том, что существуют ряды Фурье от негірерцвішх функций, расходящиеся в отдельных точках. Этот факт был замечен Дю Буа-Реймоном [30]. (Позже Л.Н.Колмогоров [34], [35] показал, что существует 2ТҐ-периодическая функция счЦС0,2Д.1) ряд Фурье которой по тригонометрической системе всюду расходится;
Делание выяснить, является ли это свойство общим для всех ортонормированиях полных систем, привело Хаара к построению системы , которая обладает тем свойством, что
ряд Фурье по этой системе от любой непрерывной функции сходится к ней равномерно. Эта система обладает и рядом других замечательных сеойств. Хотя функции этой системы являются ступенчатыми и её нельзя рассматривать как настоящий базис в пространстве С ([0Д1) непрерывных функций, однако первый

базПС Е С (с О; п) бил построен II,.1011110 с помощью этой системы. Это было сделано Фабером [331 в 19Т0 г. (Хотя определения базиса тогда ке было), который показал, что любая непрерывная на отрезке СО, 13 функция единственным образом представляется равномерно сходящимся рядом по системе|1,
Отметим, что через функции Хаара довольно просто выражаются функции ортонормированиях систем Радемахера и Уолша, которые были построены насколько позлее.
Интерес к системе Хаара значительно возрос в последнее • время в связи с тем, что она оказалась полезной в решении ванных вопросов общей теории ортогональных рядов и нашла приложение в вычислительной математике, теории вероятностей, теории интегрирования и других областях. Инициатором более подробного и глубокого изучения свойств рядов по системе Хаара следует считать П.Л.Ульянова, которому принадлежат многие важные результаты в этой области, а также постановки многих задач.
В работах ряда авторов были изучены разные свойства простых рядов Фурье по системе Хаара. Что касается кратных рядов Фурье по системе Хаара, то в этом направлении известно сравнительно мало.
Вопросы сходимости рядов Фурье от того или иного класса функций связаны с поведением коэффициентов Фурье этих Функций.
Известно, что для тригонометрической системы скорость убивания коэффициентов Фурье возрастает с увеличением гладкости функций. Не так обстоит дело для системы Хаара см.
[II], стр. 145), состоящей из разрывных Функции. Для этой

ТР-’Ь
Vt-*-oo і

ЛСАі 3*№ >
Я -т.
2'Ч

V»-^oO

к=1 / 2^-0.
ІДгС(^,І3ігг-2^ІАгСсу|^
>4ь‘(у’іаС^і
h->oo L
, £-г
дг+ІЖ г і
1дЛЛ)і

ІЛЛІ
J L
к~Г
ІАгСЛ!^
3+гг»

Л Yyu
YV->OÔ
^ Ікш

ІлгС№+^
VxBroo 2 І

'ТЛЖ
Таким образом,

а) |лдЛ>Ггг
п-^>е>о1
К~4
//ЛАТА,
ІГ'-^оа

l<=<

jA^fe