Обратная задача для пучков дифференциальных операторов высших порядков

• Автор: Лукомский, Дмитрий Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 107 с. : ил

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава 1.Единственность решения
обратной задачи
1.1. Постановка обратной задачи, формулировка результатов
1.2. Аналитические свойства матрицы Вейля
1.3. Доказательство теоремы единственности
Глава 2. Конструктивное решение
обратной задачи
2.1. Вспомогательные утверждения
2.2. Вывод основного уравнения обратной задачи
2.3. Достаточные условия разрешимости
обратной задачи
Глава 3. Дифференциальные операторы с простым спектром
3.1. Постановка задачи
3.2. Вспомогательные результаты
3.3. Вывод основного уравнения
Литература

Введение.
Одной из молодых и динамично развивающихся отраслей математики являются обратные задачи спектрального анализа. Они заключаются в определении операторов по их известным спектральным характеристикам. Теория обратных задач играет большую роль в различных разделах математики и имеет множество приложений в естествознании. Например, в квантовой механике при определении внутриатомных сил по известным уровням энергии, в радиотехнике при синтезе параметров неоднородных линий передач, в теории упругости при определении размеров поперечных сечений балки по заданным частотам ее собственных колебаний и т.д. В то же время, многие важные классы обратных задач, в силу их сложности, изучены недостаточно или совсем не изучены.
Наиболее полные результаты в теории обратных задач получены для дифференциального оператора Штурма-Лиувилля
-У+Я{х)у- (0.1)
Обратные задачи для дифференциальных операторов (0.1) исследовались в работах В.А. Амбарцумяна, Г. Борга, М.Г. Гасымова, И.М.
Введение.
Гельфанда, М.Г. Крейна, Б.М. Левитана, Н. Левинсона, В.А. Марченко, Ф.С. Рофе-Бекетова, В.А. Садовничего, А.Н. Тихонова, Л .Д. Фаддеева и других (см [1-24] и литературу в них).
Первый результат в этой области был получен В.А. Амбарцумяном [1]. Он доказал, что если собственные значения краевой задачи
-у" + Я(х) у = А у, 2/ (0) = у {тг) =
есть ~ к2 , то у(х) = 0. Но этот результат В.А. Амбарцумяна является исключением, и, в общем случае, одного спектра недостаточно для однозначного определения дифференциального оператора (0.1). Впоследствии Г. Борг доказал, что для однозначного определения потенциала д(ж) на конечном интервале достаточно задания двух спектров {А}&>о, — 1,2 краевых задач для дифференциального
оператора (0.1) с распадающимися краевыми условиями вида
Н5у) + Н,у(0) = у(Т) = 0, Я]/г2 - Я2Д, ^ 0.
Н. Левинсон [3] предложил иной метод доказательства результатов Г. Борга, основанный на развитии метода контурного интеграла. В работе А.Н. Тихонова [4] получена теорема единственности решения обратной задачи Штурма-Лиувилля на полуоси по заданной функции Вейля в случае кусочно-аналитического потенциала.
Большую роль в спектральной теории дифференциальных операторов Штурма-Лиувилля сыграл оператор преобразования. Использовав оператор преобразования, В. А. Марченко [5], [6] показал, что дифференциальный оператор Штурма -Лиувилля, заданный на полуоси или на конечном отрезке, однозначно определяется заданием спектральной функции. Также им была доказана эквивалентность, с точки зрения обратной задачи, задания спектральной функции и функции Вейля. В работе И.М. Гельфанда, Б.М. Левитана [7] были
1.3 Доказательство теоремы единственности.
и (у) = 2/(0) + (Ар + р0)у{ о).
Считаем, что функция £>12(2;) - непрерывно дифференцируема. Пусть функция Ф(х,р) - решение уравнения (1.26) при условиях С(Ф) — 1, Ф(ж,р) = О (ехр(р!?1д)), х —> оо, а А:Г(р) = Ф(0,р) - функция Вейля. Сделаем в уравнении (1.24) замену переменных
2/(ж,р) = ц(ж)у(ж,р),

ц(т) = ехр( — 1оХрп{0^)-В результате получим следующее уравнение
у"{х,р) + ррпу'(х, р) + (р2 + р{рог{х) -рпрп(х)
+Р02И - ^ри(х) + ^Рп(х))у(х’ Р) = 0. (1-27)
Следовательно
Ф(х,р) — у(х)Ф(х, р)
Так как д(0) = 1, то М(р) = М(р), но коэффициенты в уравнениях (1.26) и (1.27) не совпадают.
Таким образом, различные пучки (1.26) и (1.27) имеют одну и ту же матрицу Вейля.