Развитие теории многомерных интегральных операторов с однородными и биоднородными ядрами

• Автор: Авсянкин, Олег Геннадиевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 277 с.

Оглавление
Введение
Глава 1 Канонические многомерные интегральные операторы с однородными ядрами и порождаемые ими алгебры
§1.1 Обозначения и предварительные сведения
1.1.1 Обозначения
1.1.2 Нетеровы операторы и их свойства
1.1.3 Сферические гармоники
1.1.4 Операторы с однородными степени (—1) ядрами
1.1.5 Операторы с однородными степени (—п) ядрами
§ 1.2 Нетеровость парных интегральных операторов
с однородными ядрами
1.2.1 Критерий нетеровости парных операторов
1.2.2 О плотности множества нетеровых операторов
1.2.3 Нетеровость и обратимость оператора XI
§1.3 Алгебра, порожденная парными интегральными операторами с однородными ядрами
1.3.1 Композиции операторов с однородными ядрами
1.3.2 Алгебра 21 и фактор-алгебра 21/Т(Ар(Ж"))
1.3.3 Критерий нетеровости в алгебре
1.3.4 О принадлежности классу операторов локального типа
1.3.5 Матричный случай
§ 1.4 Алгебра, порожденная операторами XI
§1.5 С*-алгебра, порожденная интегральными операторами
с однородными ядрами и операторами мультипликативного сдвига
1.5.1 С*-алгебра, порожденная мультипликативными сдвигами
1.5.2 Вспомогательные утверждения
1.5.3 (7*-алгебра £ и ее структура
1.5.4 Критерий обратимости и нетеровости в алгебре £
§1.6 Интегральные операторы с однородными ядрами
в пространстве Ьр(В„)
1.6.1 Критерий нетеровости оператора XI
1.6.2 Алгебра Я и ее матричный аналог
1.6.3 Вольтерровский случай
Глава 2 Многомерные интегральные операторы с однородными ядрами и переменными коэффициентами
§ 2.7 Интегральные операторы с однородными ядрами
и стабилизирующимися коэффициентами
2.7.1 Оценка для нормы
2.7.2 Класс функций Ао и теоремы о компактности
2.7.3 Операторы с коэффициентами из класса А
§2.8 Интегральные операторы с однородными ядрами
и радиальными слабо осциллирующими коэффициентами
2.8.1 Класс радиальных слабо осциллирующих функций
2.8.2 Свертки со слабо осциллирующими коэффициентами
2.8.3 Нетеровость и индекс модельных операторов
2.8.4 Теорема о коммутаторе
2.8.5 Критерий нетеровости в алгебре
§2.9 С*-алгебра, порожденная интегральными операторами
с однородными ядрами и коэффициентами вида х[а
2.9.1 С*-алгебры, порожденные динамическими системами
2.9.2 С*-алгебра 93 и ее структура
2.9.3 Критерий обратимости и нетеровости в (7*-ал'гебре
2.9.4 Некоторые частные случаи
2.9.5 Нетеровость одного класса парных операторов
Глава 3 Проекционный метод и предельное поведение
спектров и псевдоспектров

§3.10 Проекционный метод для интегральных операторов
с однородными ядрами
3.10.1 Определение проекционного метода
3.10.2 Вспомогательные утверждения
3.10.3 Критерий применимости проекционного метода
к парным многомерным операторам
3.10.4 Проекционный метод для операторов из Ьр(Вп)
§3.11 Усеченные интегральные операторы с однородными ядрами
и их свойства
3.11.1 Композиции усеченных операторов
3.11.2 Предел норм усеченных операторов
§3.12 Псевдоспектры многомерных интегральных операторов
с однородными ядрами
3.12.1 Алгебра 91 и предел норм обратных операторов
3.12.2 Предел псевдоспектров усеченных операторов
3.12.3 Матричный случай
3.12.4 Дополнение к одномерному случаю
§3.13 Предельное поведение спектров и сингулярных
значений усеченных операторов
3.13.1 Предел спектров усеченных операторов
3.13.2 Предел множества сингулярных значений
Глава 4 Многомерные интегральные операторы
с биоднородными ядрами
§4.14 Нетеровость и индекс многомерных интегральных операторов
с биоднородными ядрами
4.14.1 Операторы Винера-Хопфа с компактными коэффициентами на полупрямой
4.14.2 Операторы Винера-Хопфа с компактными коэффициентами в квадранте
Теорема 1.4. Для того чтобы оператор В был нетеровым в ЬР(К+), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
<Ы£) Ф о, і-1,2.
Если это условие выполнено, то
іпсі В — іпсі ( := и,
а дефектные числа оператора В определяются равенствами:
а(В) = тах{0, х}, (3(В) = тах{0, —х}.
Оператор XI — Н, где Н определяется формулой (1.4), представляет собой частный случай парного оператора. Символом оператора XI — Н назовем функцию

о-(0 = А - У/і(1 ,у)у~1/р+гду, £єК. (1.11)

Тогда из теоремы 1.4 вытекает
Следствие 1.1. Пусть Н — оператор вида (1.4). Тогда следуют,ие условия равносильны:
1) оператор XI — Н нетеров в Ьр(Ш+);
2) оператор XI — Н обратим в ЬР(Ш+);
3) символ сг(£) оператора XI — Н удовлетворяет условию
о(Є) ф О, Є М. (1.12)
В заключение рассмотрим интегральные операторы с однородными ядрами на конечном интервале. Именно, в пространстве Ьр(0,1), 1 < р оо, определим оператор Ні формулой

(Нцр){х) = ! Н(х,у)р(у)ду, ж Є (0,1), о
где функция И(х, у) по-прежнему удовлетворяет условиям і)—іі). Символом оператора XI — Н назовем функцию <т(£), заданную равенством (1.11).