Некоторые приложения метода экстремальных метрик и метода вариаций к теории однолистных конформных отображений

• Автор: Федоров, Сергей Игоревич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 153 c. : ил

Глава I. ПРОБЛЕМЫ МОДУЛЯ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ СЕМЕЙСТВ КРИВЫХ

§ I. Проблема модуля для классов кривых на

§ 2. Проблема модуля для классов кривых на

СТоаИєч®оо?

Глава 2. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КОНФОРМНЫХ

ГОМЕОМОРФИЗМОВ КРУГА НА НЕНАЛЕГАЩИЕ ОБЛАСТИ

§ I. К задаче об экстремальном разбиении

замкнутой плоскости на семейство

односвязных областей

§ 2. Задача о максимуме произведения конформных

радиусов в семействе пар областей, не
содержащих заданных пар точек
§ 3. О монотонном изменении емкости
§ 4. О значениях, выпускаемых в круге /?/<'(
функциями классов Я(Х) и в(%)
Глава 3. О МНОЖЕСТВЕ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ В КЛАССАХ ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ .С ВЕЩЕСТВЕННЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ
§ I. Множество значений §(}о) -в классах
§ 2. Минимум I К?.)| в классе 5 рч
§ 3. О значениях, выпускаемых функциями класса
5& в круте

Глава 4. К ОЦЕНКАМ НАЧАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ В
НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ
§ I. Оценки
Н $ ^ £ 1 ,в классе
§ 2. Оценки сС^+сС^ в классе 2
ЛИТЕРАТУРА

I. К основным методам теории однолистных функций относятся метод площадей, параметрический метод Левнера и вариационно-параметрический метод Левнера-Куфарева, методы внутренних и граничных вариаций, метод экстремальных метрик, метод симметризации. Метод экстремальных метрик возник сравнительно недавно и наиболее тесно связан с дифференциальной геометрией и топологией. В основе этого метода лежат данное Л.Альфорсом и А.Бейрлингом определение экстремальной длины семейства кривых, представляющее собой существенное обобщение модуля Гретша, и предложенное Дне.Дженкинсом распространение этого понятия на случай нескольких семейств кривых (см. [1] ). Метод экстремальных метрик успешно сочетается с вариационными методами и методом симметризации. В настоящее время имеются различные формы указанного метода. Одной из этих форм можно считать решение экстремальных задач теории конформных отображений при помощи "общей теоремы о коэффициентах" Дженкинса [I. г] . Эта теорема является реализацией принципа Тейхвлюллера для широкого крута экстревлальных задач. Отметим, что доказательство "общей теоревлы о коэффициентах" опирается на результаты о глобальной структуре траекторий квадратичных дифференциалов, обусловленные развитием вариационных методов. В свою очередь, факты о структуре траекторий систематически используются в современных исследованиях вариационнывли методами и значительно упростили применение этих методов. При повлощи "общей теоревлы о коэффициентах" было получено решение большого числа экстремальных задач

14,г
где для имеем выражение (1.32). Учитывая (1.32),
получаем ,для ^ (И) уравнение
0*(ы)Ли,Ы,1, (1.37)

П*Г,, _ 1(&+4)~С1 , 8АС0! (ЫщШи , « ^ - -рЯф^Т) + ШГ сл^~ +
, СП и>1 &1С01 с1ли>1
+ -ЩГ- СЛ‘ЙГ • (1-38)
Повторяя рассуждения в [ 3 , стр.79 ], получаем, что для Ыв РГ£* справедлива формула
ПЧ,)-&(Р^)-С1 в^М , &
а(и)~т^) ем)+ж*иНи)’ (1-зэ)