Равносходимость разложений в кратный тригонометрический ряд и интеграл Фурье

• Автор: Графов, Денис Александрович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 147 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. КРАТНЫЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ФУНКЦИЙ ИЗ Lp, р>
Введение
§ 1Л. Свойство "почти фундаментальности" для последовательности частичных сумм двойных рядов Фурье функций из Ьр, р > 1 . . . 29 §1.2. Равносходимость почти всюду разложений в кратный ряд и интеграл Фурье, "прямоугольные частичные суммы" которых рассматриваются по некоторым подпоследовательностям
§ 1.3. О справедливости равносходимости разложений в кратный ряд и
интеграл Фурье непрерывных функций
§ 1.4. Равносходимость разложений в ряд и интеграл Фурье функций из
Ф(L), где Ф(ц) = о(иlog+ log+ и) при и —¥ оо
ГЛАВА II. СТРУКТУРНЫЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МНОЖЕСТВ, НА КОТОРЫХ СПРАВЕДЛИВА РАВНОСХОДИМОСТЬ
РАЗЛОЖЕНИЙ В КРАТНЫЙ РЯД И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Введение
§2.1. Равносходимость почти всюду разложений в кратный ряд и интеграл Фурье с " Jfc-лакунарными последовательностями частичных
сумм"
§2.2. О необходимых условиях справедливости равносходимости почти всюду кратных рядов и интегралов Фурье с " Д.-лакунарными последовательностями частичных сумм"
ГЛАВА III. КРИТЕРИЙ СПРАВЕДЛИВОСТИ РАВНОСХОДИМОСТИ РАЗЛОЖЕНИЙ В КРАТНЫЙ РЯД И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

Введение
§3.1. Вспомогательные утверждения
§ 3.2. Критерий справедливости равносходимости разложений в кратный ряд и интеграл Фурье, "прямоугольные частичные суммы" которых рассматриваются по некоторым подпоследовательностям .... 128 §3.3. Равносходимость разложений в кратный ряд и интеграл Фурье с " Jfc-лакунарными последовательностями частичных сумм" функций
из Ф(Т), где Ф('н) = o(iilog+ log+ и) при и -¥ оо
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
1. Рассмотрим Л^-мерное евклидово пространство Шм, элементы которого будем обозначать х = {х,... , тдг), и положим (пх) = пХ + • • ■ + п^х^,
х = (х- f x2N)1/2.
Введем множество = {(ал, ... , х^) £ IR-^ : Xj > a, j = 1,..., N}, а £ М1, и множество ZiN С M,v всех векторов с целочисленными координатами. Положим = М% П Ъм.
Пусть Ф: [0, оо) —У [0, оо) — неубывающая функция. Через Ф(Ь)(ТМ) обозначим множество суммируемых на TN = {ж £ : — тг < Xj < тг,j =
1,..., N} функций / таких, что
J Ф(|/(®)|)<& < оо,

а через Ф(Ь)(М ) — множество суммируемых на М‘у функций д таких, что
J Ф(ф(ж)|)й1ж < оо.

Если Ф(и) = ир, р > 1, то обозначим Ф{Ь) = Lp; если Ф(н) = Hlog+tx, где log+ и — log тах{1, и}, то Ф(Ь) = L log+ L.
Пусть 27г-периодическая (по каждому аргументу) функция / £ Ф(Ь)(ТМ) разложена в кратный тригонометрический ряд Фурье:
/(ж) ~ ]Г ckSkx keZN
Для любого вектора п = (щ,.. ., пдг) £ Zg рассмотрим прямоугольную частичную сумму этого ряда
Snix-,f)= Л c^(kx)' (°Л)
|fcl|
Определим на этих множествах следующие функции:
gi(ui,u2) при (иии2) е Т
9i{u,u2) =

пне Д2,
г = 1,..., 8.
В таком случае, для доказательства теоремы I.I для функции д{х), удовлетворяющей условию (1.18), достаточно доказать, что справедливы оценки:
sup j Ja{x,gi)
Qi,Q2> О
Lp( T2)
Д C1lsr|Up(®2), г = 1, ■ ■ -, 8.
(1.19)
Доказательство проведем для г = 5 (для остальных г доказательство аналогично):
Лтг ■.
^ J 9ь(иЪи2) Ъа2(и2 - Х2)йи2 >5а1(п1 - Xl)dUl =
п — 7Г '

Jn2(x2,g5]Ui)Dai(ui - Xi)dui.
Пусть J»(x2,5s;mi) = sup JQ2(x2,g5',Ui), тогда имеем: 02 > О
sup Ja(x,g5) I
О!,а2>

LP(T*)

J ( ~ JMxh95',U2)
Г2. 4 7Г
0 71 ч / 27Г
du2 щ - х2
dxdx2 <
~ j { j + j{ j J*(x^9bu2)[
TPl ' '—-7г П ' ' 'тт
2 ) dx = Л!
du2 , I ,
I ах2 axi = Ai + ^
^2 - х2) J
Т1 4 4-тг О
Если Х2 6 [—7Г, 0], и2 е [7Г, 27т], ТО |гг2 — Х2| > 7Г, тогда ДЛЯ ЛХ можно применить оценку (1.13) и получить оценку (1.19). Далее рассмотрим и оценим А2. Сделав замену переменных в А2: х2 = тт — х2, получим:

7Г / 27Г

J ( ~ J Мхъ9ь’,и2)
т1 4 0 4 7Г
du2 и2 + Х2 — 7г|
с?х2 >a!xi,