Равномерные гомеоморфизмы пространств непрерывных функций и многозначные отображения

• Автор: Арбит, Александр Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 75 с.

Терминология и обозначения

Глава 1. Многозначные отображения, порождаемые равномерными гомеоморфизмами пространств непрерывных функций

§1. Понятие носителя

§2. Свойства носителя

Глава 2. Коммутативные семейства ретракций

§1. Аналог спектральной теоремы Щепина

§2. РПРЕ на компактах. Пространства О*2 и ехр О*2

§3. РПРЕ на пространствах Ср(Х)

Глава 3. Равномерно гомеоморфное разложение пространств функций в произведение

§1. Декартовы ретракции

1.1. Конечная тихоновская степень

1.2. Пространство ехр„Х
§2. Равномерно гомеоморфное разложение пространств функций в произведение
§3. Пространства функций над аГ и его конечными степенями
Литература

Предмет нашего рассмотрения - пространство Ср(Х) всех непрерывных вещественных
функций на топологическом пространстве X, наделённое топологией поточечной сходимости. Этот объект можно рассматривать либо как топологическое пространство, либо как равномерное топологическое пространство, либо как линейное топологическое пространство. Естественным образом возникает следующая задача.
Пусть С (_Х) и Ср(У) одинаковы в том или ином смысле: как топологические пространства, как равномерные топологические пространства или как линейные топологические пространства. Какие свойства пространств Хи У будут тогда общими?
Сформулируем данную задачу на языке эквивалентностей. Назовем пространства X и У

/-эквивалентными (/-эквивалентными, //-эквивалентными) и будем писать X ~ У
1 и
(соответственно, Х~У, Х~У), если пространства Ср(Х) и Ср(У) гомеоморфны
(соответственно, линейно гомеоморфны, равномерно гомеоморфны). Если Хи У гомеоморфны, Л
то пишем Х~У.
Очевидны следующие импликации
А / и г
Х~У=>Х~У=>Х~У=>Х~У.
Данные отношения являются отношен/ими эквивалентности, а свойства пространств X и У, которые сохраняются отношением /-, I- или //-эквивалентности, будем называть соответственно /-, /- ми //-инвариантами.
В данной терминологии вышеназванная задача формулируется следующим образом: какие свойства топологических пространств Хи У являются /-, /- или //-инвариантами?
Для доказательства инвариантности тех или иных топологических свойств часто привлекается следующая конструкция. Непрерывное отображение пространства Ср(У) в
Ср{Х) порождает семейство многозначных отображений из X в У, которые являются
основным инструментом в доказательстве теорем об инвариантности.
Такого типа конечнозначные отображения были определены О.Г.Окуневым [17] для доказательства г-ипвариантности спрэда, наследственной плотности и наследственного числа Линделёфа. Используя различные варианты таких отображений, С.П.Гулько [4] доказал и-инвариантность размерности, а Н.В.Величко [19] доказал /-инвариантность свойства Линделёфа.
Первая глава диссертации посвящена дальнейшему изучению многозначных отображений, возникающих при равномерном гомеоморфизме пространств функций Ср(Х) и Ср(У). В первом параграфе вводится понятие е-носителя, многозначного отображения пространства X в Y для каждого е > 0, которое мы обозначаем supp£. Это отображение строится аналогично построенному О.Г.Окуневым [17] для случая /-эквивалентности, обозначение было введено им же. Значениями этого отображения являются непустые конечные множества supp6x, где х 6 X, причём, если е<5,то supp5xcsupprx. Далее строится отображение supp: X —» 2Г, определённое формулой supp х = [J suppEx, значениями которого являются счётные (в общем
Е>0
случае) множества. Во втором параграфе исследуются свойства вышеупомянутых отображений и то, как эти отображения соотносятся с другими, в частности, с отображением хн>К(х), введённым С.П.Гулько [4]. Главным результатом этой главы является следующая
Теорема 1.2.5. Многозначное отображение supp:X->2y полунепрерывно снизу.
Отображение носителя, построенное О.Г.Окуневым для случая /-эквивалентности, вообще говоря, не является полунепрерывным снизу, хотя и обладает некоторой более слабой формой полунепрерывное. Таким образом, п-эквивалентность пространств порождает многозначное отображение, обладающее рядом замечательных свойств, которые могут отсутствовать в случае /-эквивалентности.
Результаты второй главы навеяны спектральной теоремой Е.В.Щепина [9,10], которая утверждает, что если предельные пространства двух регулярных спектров одинаковой длины гомеоморфны, то они содержат изоморфные подспектры. Одно из применений этой теоремы -доказательство того факта, что компакты D*1 и exp Z)Кг не гомеоморфны. В связи с этим возникает вопрос: будут ли пространства функций на этих компактах гомеоморфны и если будут, то какая это будет гомеоморфность (линейная, равномерная)? Напрямую применить

| d(M') - d(M’) | < | (| max AT | -| min M' | )-(| max M" | -1 minM’ = | (| maxA/'|-1 maxM"| )+(| minM” |-| minM'| )| <
< 11 max M' | -1 maxAf" 11 +11 min M'' | -1 min M' 11 <
< | max M' - max M" I +1 min M’ - min M' I < 2p(M
Предложение доказано. ■
Теперь, используя отображения фЕ и х|/с из леммы 3.2.3, построим отображения ФЕ : (FinÆ)x R -» R и Ч*Е : (Fin R)x Я —> R, определённые формулами
Ф6(М,у) = <рЕ(с/(М),у)
IH 4'с(М,у) = 4iF (d(M),y), где (Л/,у) е (Fin R)x R.
Пространство (Fin R)x R будем рассматривать как метрическое с метрикой
Р((М’, у'), (.М",у")) = max ( р(M', M"), | ÿ - /| )
'$> Лемма 3.2.5. Функции и являются липшицевыми с константами 2А(е) и 2В(&)
соответственно, то есть
|Ф. W, у') - Ф ДАТ, у") < 2А(е) max(p(AГ, АГ),| ÿ - у"\
|УЕ(АГ,у') - Ve(M’,y’) < 2В(е)шах(р(А/',M"), ÿ - у” ).
Доказательство. Используя определение функций Ф£ и свойства функций фЕ и фЕ и

предложение 3.2.4, ползаем
c(My’) = vE(d(M’),y')- < A{s)max(d{M')- d{M"),ÿ - у")< 2A(c)ma.x(p(M',M’),ÿ - у’ ).
Аналогично и для функции . м

Следующие свойства функций Фе и вытекают непосредственно из определения,
свойств (dl),(d2) функции d и свойств ( (Ф1) Фс({0,у},у) = 0,
4»