Об одном классе гиперплоскостей симметричных банаховых пространств

• Автор: Федотова, Наталья Петровна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Ярославль
• Количество страниц: 107 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Основные определения и вспомогательные утверждения
§ 1.1 Необходимые сведения из алгебры и геометрии. Перестановки, произведение независимых циклов. Гиперплоскости и линейные многообразия
в Я". Выпуклость
§ 1.2 Необходимые сведения из функционального анализа. Положительно определенная квадратичная форма, скалярное произведение, норма, метрика, связи между ними. Теорема Колмогорова. Расстояние в норме Ь2 до линейных многообразий
§ 1.3 Необходимые сведения из теории приближений. Приближение в нормированных пространствах. Теоремы единственности и существования. Метрический проектор и метрическая проекция
Глава 2. 11-свойство для симметричных и специальных симметричных норм
§ 2.1 Основные определения и примеры. Симметрическая, специальная симметрическая нормы. Ц-свойство и свойство униэкстремальности для
введенных классов норм. Зависимость свойств
§ 2.2 ТГ-свойство для симметричных норм
§ 2.3 11-свойство для специальных симметричных норм
Глава 3. Униэкстремальность для симметричных и специальных симметричных норм
§ 3.1 Свойство униэкстремальности гиперплоскостей в пространстве Ып, не являющихся подпространствами, относительно симметричных норм
§ 3.2 Униэкстремальность гиперплоскостей-подпространств
§ 3.3 Свойство униэкстремальности гиперплоскостей в пространстве Я“,
ляющихся подпространствами, относительно специальных симметричных норм

§ 3.4 Униэкстремальность гиперплоскостей-подпространств относительно специальных симметричных норм
Результаты для целочисленных задач. Применение полученных
результатов ,,

§ 1 и свойство и униэкстремальность для симметричных норм в
целочисленном случае
§ .2 и свойство и униэкстремальность для специальных симметричных норм в целочисленном случае
§ 4.3 Алгоритм нахождения точки метрического проектора
§ 4.4 Приложение к оптимизационным задачам
Глава 5. Результаты для случая функциональных пространств
§ 5.1 Униэкстремальные гиперплоскости симметричных банаховых пространств
§ 5.2 Униэкстремальность гиперплоскости /(х)с1х = сот

§ 5.3 Необходимое и достаточное условия униэкстремальности
Заключение... „

Список литературы

Введение

Известно [49], что гиперплоскость жг = 0 тг-мерного пространства об-

ладает следующим свойством: для любого многогранника вида сц < ж, < h (і = 1,2,,п) в этой гиперплоскости существует точка этого многогранника, в которой достигается минимум любой симметричной нормы.
Другими словами, метрический проектор нуля на указанную гиперплоскость в определенном смысле не зависит от метрики.
Назовем указанное свойство униэкстремальным. Дадим точное определение:
Непустое пересечение гиперплоскостей (и линейных многообразий) с различными параллелепипедами а, < ж* < 6,- (г = 1,2,..., п) называются много-гра.пниками вида D.
Свойство U выполнено для гиперплоскости (или многогранника вида D), если точка эт,ой гиперплоскости (или многогранника вида D), в которой достигается минимум евклидовой нормы, является точкой минимума любой другой симметричной нормы.
Гиперплоскость пространства Пп называется униэкстремалъной, если на любом многограннике вида D этой гиперплоскости выполнено свойство U.
Рассмотренный подход допускает обобщение на функциональный случай:
Гиперплоскость обладает U-свойством, если ближайшая к нулю по норме пространства 1/г[Д 1] точка гиперплоскости является и одной из ближайших к нулю точек по норме любого другого симметричного функционального банахова пространства.
Гиперплоскость называется униэкстремалъной, если данное свойство остается верным и для любых ее подмножеств вида:
D(finf, fsup
) = {/(ж) : finf < /(ж) < fsup, Vx Є [0,1]},

Глава 3. Униэкстремальность гиперплоскостей в пространстве Rn
В этой главе мы выясним, для каких классов гиперплоскостей в пространстве Rn выполнено свойство униэкстремальности относительно симметричных и специальных симметричных норм.
§3.1 Свойство униэкстремальности гиперплоскостей в пространстве Rn, не являющихся подпространствами, относительно симметричных норм
Сначала рассмотрим гиперплоскости, задаваемые уравнениями

'Y2aixi — const ф 0 (at е { — 1,0,1}, г = 1,2,... ,п и = 0),
г— г=
и докажем, что они не являются униэкстрем ал ьными. Для этого нам потребуется предварительно провести доказательство следующих двух утверждений. Справедливо
Утверждение 2. Для любого линейного многообразия в пространстве Rn, описываемого уравнениями

53 %г — const,

Х( = a,-, i = к + 1, к + 2,..., п точка Е = (с, с,..., с, ak+, &к+2, ■ ■ ■, &п), с — принадлежит метрическому проектору нуля относительно любой симметричной нормы.
Доказательство утверждения 2 проводится полностью аналогично доказательству леммы 4 или второй части доказательства леммы 6, поэтому приводить его здесь мы не будем.
Докажем, что имеет место
Утверждение 3. Пусть L - любое линейное многообразие в пространстве Rn и N - произвольная симметричная норма. Пусть точка Е означает лю-